Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
гг! ~ пп е~п 1/2тгтг. (19)
Д. БЕТА-ФУНКЦИЯ
Эйлерова бета-функция задается формулой
1
В{р + Ь ? + 1) = [ *р(1 — хр dx. (20)
о
Если оба параметра р и q по величине больше, чем —1, то этот интеграл сходится. Подстановкой и = ах получаем
а
f иР(а — up du = аР+ч+i В(р + 1, q + 1). (21)
0
Подстановкой х = sin2 99 получаем
Я
2"
В(р + 1, q + 1) = 2 J sin2P+1 ср cos2<?+1 <р d<p. (22)
о
Для того чтобы вычислить интеграл (20), рассмотрим двойной интеграл
т Г — ъ <*' + «’) 2« +1 +1 j j
1 = е * У dxdy.
о о
С одной стороны, интегрируя последовательно по х и по у, согласно (3), получаем
1 = J е 2 1 .г2? т 1 dx ¦ j е 2 17 у P + 1 dy = (23)
о о
= 2» Г(д + 1) 2*Г(р + 1) = 2Р+чГ(р + 1) Г(д + 1).
76
Гл. III. Математические вспомогательные средства
С другой стороны, переходя к полярным координатам, находим
2
-ог’ 2Р + 29 + 3
I = \ е 2 г
j С 2д+1 . 2р 4- 1
ат 1 cos <р sin <р (Up =
о о
= 2Р+я+1Г(р+ q + 2)\B{p+\,q+ 1) =
= 2р+чГ (р + q + 2) В(р + 1, q + 1). (24)
Сравнение (23) и (24) показывает, что
Г (р + 1) Г (q + 1) = Г (р + q + 2) В (р + 1, q + 1), таким образом,
*<р+1^+о = -&+,г+?” ¦ <25>
Следующий интеграл можно свести к бета-функции:
К = [ (г2 + a)-lzkdz (k> — 1, 21 — к > 1, о > 0). (26)
о
А именно если положить о (г2 + о)-1 = у и, следовательно^
г2 = а^-1 (1 —у), то этот интеграл преобразуется так:
1 —— I С I — -—- 1 —1 — I ( к 4- 1 it 4-1
= 2«2 J У 2 (1-2/) 2 dy=\a2
о
или, согласно (25),
К
к+1\
к+1
В частности, для к = 0 имеем
§ 13. Ортогональные преобразования
77
§ 13. Ортогональные преобразования
Как известно, преобразование переменных:
Vl = а11 X1 + а12 “Г • • • + а1п Хп>
Уг = а21 Х1 + а22 ~Ь ¦ • • ~Ь а2п ХП>
(1)
Уп = а„1 х1 + ап2х2 + ... -|-.апп хп,
называется ортогональным, если оно сохраняет инвариантной форму з% + . . . + х?,:
= (2)
Если (1) подставить в (2) и приравнять коэффициенты при xf и xt Xj (i ф j) с обеих сторон, то получатся условия ортогональности
а1( + a\i + - • • + ani — 1|
ali alj + агi аг] + ¦ • • + ani anj — 0- j
В силу этих условий произведение матрицы
[а11 ап ¦ ¦ • а1п \
@21 @22 • • • @'2п
(3)
А =
'ат ап2 ¦ ¦ ¦ апп '
преобразования (1) на транспонированную матрицу А* является единичной матрицей:
АА*= 01---°
\ 0 0 ... 1 /
Отсюда следует, что определитель ортогонального преобразования равен ± 1. Этот определитель одновременно является функциональным определителем
9(*/i..........Уп)
= + 1.
(4)
Если уравнения (1) умножить соответственно на аи, а2!,. . ., ani и затем сложить, то, в силу условий ортогональности (3), все х, кроме хь взаимно уничтожаются, и мы получим
= аи Vi + <hi Уг + • • • + ani Уп- (5)
78
Гл. III. Математические вспомогательные средства
Таким образом, матрица обратного преобразования является транспонированной матрицей преобразования (1).
В силу (2), обратное преобразование (5) будет снова ортогональным, следовательно, и для транспонированной матрицы имеют место условия ортогональности:
Qfi -Ид + • • ¦ + ah — 1,
ail ajl + а/2 aj2 -+¦¦•¦+ ain ajn = 0-
Точно так же доказывается обратное утверждение: условия (3) являются следствием условий (6).
Мы будем очень часто применять следующую теорему:
Любую начальную строку
2/i = «и *i + «12 ** +¦ ¦ • ¦ -f а1п хп,
коэффициенты которой удовлетворяют условию °п + а?2 Ь • • • 4- а?„ 1,
можно дополнить до некоторого ортогонального преобразования (1).
Доказательство. Для коэффициентов второй строки имеются, согласно (6), одно линейное уравнение
аи а21 ~t~ ^12 а '2 а1 п а2п ~ 0 (7)
и одно квадратное
а21 “Г Я22 + • ¦ • “Ь а2п = 1 ¦ (В)