Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 27

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 178 >> Следующая


гг! ~ пп е~п 1/2тгтг. (19)

Д. БЕТА-ФУНКЦИЯ

Эйлерова бета-функция задается формулой

1

В{р + Ь ? + 1) = [ *р(1 — хр dx. (20)

о

Если оба параметра р и q по величине больше, чем —1, то этот интеграл сходится. Подстановкой и = ах получаем

а

f иР(а — up du = аР+ч+i В(р + 1, q + 1). (21)

0

Подстановкой х = sin2 99 получаем

Я

2"

В(р + 1, q + 1) = 2 J sin2P+1 ср cos2<?+1 <р d<p. (22)

о

Для того чтобы вычислить интеграл (20), рассмотрим двойной интеграл

т Г — ъ <*' + «’) 2« +1 +1 j j

1 = е * У dxdy.

о о

С одной стороны, интегрируя последовательно по х и по у, согласно (3), получаем

1 = J е 2 1 .г2? т 1 dx ¦ j е 2 17 у P + 1 dy = (23)

о о

= 2» Г(д + 1) 2*Г(р + 1) = 2Р+чГ(р + 1) Г(д + 1).
76

Гл. III. Математические вспомогательные средства

С другой стороны, переходя к полярным координатам, находим

2

-ог’ 2Р + 29 + 3

I = \ е 2 г

j С 2д+1 . 2р 4- 1

ат 1 cos <р sin <р (Up =

о о

= 2Р+я+1Г(р+ q + 2)\B{p+\,q+ 1) =

= 2р+чГ (р + q + 2) В(р + 1, q + 1). (24)

Сравнение (23) и (24) показывает, что

Г (р + 1) Г (q + 1) = Г (р + q + 2) В (р + 1, q + 1), таким образом,

*<р+1^+о = -&+,г+?” ¦ <25>

Следующий интеграл можно свести к бета-функции:

К = [ (г2 + a)-lzkdz (k> — 1, 21 — к > 1, о > 0). (26)

о

А именно если положить о (г2 + о)-1 = у и, следовательно^

г2 = а^-1 (1 —у), то этот интеграл преобразуется так:

1 —— I С I — -—- 1 —1 — I ( к 4- 1 it 4-1

= 2«2 J У 2 (1-2/) 2 dy=\a2

о

или, согласно (25),

К

к+1\

к+1

В частности, для к = 0 имеем
§ 13. Ортогональные преобразования

77

§ 13. Ортогональные преобразования

Как известно, преобразование переменных:

Vl = а11 X1 + а12 “Г • • • + а1п Хп>

Уг = а21 Х1 + а22 ~Ь ¦ • • ~Ь а2п ХП>

(1)

Уп = а„1 х1 + ап2х2 + ... -|-.апп хп,

называется ортогональным, если оно сохраняет инвариантной форму з% + . . . + х?,:

= (2)

Если (1) подставить в (2) и приравнять коэффициенты при xf и xt Xj (i ф j) с обеих сторон, то получатся условия ортогональности

а1( + a\i + - • • + ani — 1|

ali alj + агi аг] + ¦ • • + ani anj — 0- j

В силу этих условий произведение матрицы

[а11 ап ¦ ¦ • а1п \

@21 @22 • • • @'2п

(3)

А =

'ат ап2 ¦ ¦ ¦ апп '

преобразования (1) на транспонированную матрицу А* является единичной матрицей:

АА*= 01---°

\ 0 0 ... 1 /

Отсюда следует, что определитель ортогонального преобразования равен ± 1. Этот определитель одновременно является функциональным определителем

9(*/i..........Уп)

= + 1.

(4)

Если уравнения (1) умножить соответственно на аи, а2!,. . ., ani и затем сложить, то, в силу условий ортогональности (3), все х, кроме хь взаимно уничтожаются, и мы получим

= аи Vi + <hi Уг + • • • + ani Уп- (5)
78

Гл. III. Математические вспомогательные средства

Таким образом, матрица обратного преобразования является транспонированной матрицей преобразования (1).

В силу (2), обратное преобразование (5) будет снова ортогональным, следовательно, и для транспонированной матрицы имеют место условия ортогональности:

Qfi -Ид + • • ¦ + ah — 1,

ail ajl + а/2 aj2 -+¦¦•¦+ ain ajn = 0-

Точно так же доказывается обратное утверждение: условия (3) являются следствием условий (6).

Мы будем очень часто применять следующую теорему:

Любую начальную строку

2/i = «и *i + «12 ** +¦ ¦ • ¦ -f а1п хп,

коэффициенты которой удовлетворяют условию °п + а?2 Ь • • • 4- а?„ 1,

можно дополнить до некоторого ортогонального преобразования (1).

Доказательство. Для коэффициентов второй строки имеются, согласно (6), одно линейное уравнение

аи а21 ~t~ ^12 а '2 а1 п а2п ~ 0 (7)

и одно квадратное

а21 “Г Я22 + • ¦ • “Ь а2п = 1 ¦ (В)
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed