Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
0
В частности,
-f- 00 00
JV * dt = 2Je~ 2 ‘‘ dt = Y7> rj* ] . (4)
—00 0
72 Гл. III. Математические вспомогательные средства
Б. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
Интегрированием по частям убеждаемся, что неопределенный интеграл (1а) удовлетворяет соотношению
J хг е~х dx = — з? е~х + z J ж2-1 е~х dx,
откуда после подстановки пределов интегрирования 0 и оо и в предположении, что z> О, находим:
Г(г+1) = гГ(2). (5)
Очевидно, что Г(1) = 1. Далее, из функционального уравнения (5) получаем
Г(2)= 1 -Г(1)= 1,
Г(3) = 2 • Г(2) = 2!
и вообще для целочисленного п
Г(п + 1) = п\ (6)
Чтобы вычислить Д1/*); рассмотрим двойной интеграл по всей плоскости:
dx dy. (7)
С одной стороны, интегрируя последовательно по х и у. согласно (4), получим
4 оо *+• оо
1 = [ е~ 2 *' dx ( е_2 y'dy = 2
Г'-2
(8)
С другой стороны, в (7) можно ввести полярные координаты:
2л 00
/=JJe г dr dtp = е г dr = 2п Г(1) — 2п. (9)
о о
Сравнивая (8) и (9), находим
§ 12. Бета- и гамма-функции
73
Отсюда, пользуясь функциональным уравнением (5), можно определить -Г(3/2), Г(5/г) и т. д.; например,
г(|) = ^ 0D
В. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОМЕРНОЙ СФЕРЫ
Если вместо (7) рассмотреть и-кратный Интеграл по всему пространству
I = 2<х‘ 1 f Хл) dxt. . . dxn,
то, с одной стороны, получим
+ оо
1 = I х dx
у 2 Г 1
= (2nf,
(12)
(13)
а, с другой стороны, переходом к и-мерным полярным координатам (§11) найдем
(14)
где интеграл J dQ распространяется на всю область изменения угловых переменных cpn-v Сравнивая (13) и (14), полу-
чаем
J
dQ
(15)
Например, если п = 3, то правая часть (15) равна известной со времен Архимеда площади поверхности шара единичного радиуса:
f dQ = зг2 = 4 ж.
J г я
Точно так же и (15) с геометрической точки зрения можно истолковать как площадь поверхности шара единичного радиуса в 71-мерном пространстве.
74
Г л. TII. Математические вспомогательные средства
I'. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Выведем асимптотическую формулу для гамма-функции
Г(А -г 1) ^ | dx
о
при больших Л. Максимальное значение подинтегральной функцин
f(x) = xk е~х
достигается в точке х = А. Для х, близких к А, логарифм подинтег-ральной функции можно разложить в ряд
Если \х — А| меньше А, то главный член ряда будет больше остальных членов, обозначенных от точием . . и поэтому ими можно пренебречь. Если же х — А является величиной того же порядка, что и А, а А велико сравнительно с единицей, то дополнительными членами также можно пренебречь, так как в этом случае как /(х), так и правая часть (16) исчезающе малы. Следовательно, если отбросить дополнительные члены и проинтегрировать правую и левую части (16) от 0 до оо, то получим
Асимптотическое равенство ~ означает, что отношение обеих сторон стремится к единице при А —» оо. Справедливость асимптотического равенства не нарушится, если нижний предел интегрирования — ]/А заменить на —оо. Воспользовавшись (4) и (10), получим формулу Стирлинга:
Если возьмем более точное разложение для f(x), то найдем для гамма-функции более точное приближение1:
In f(x) = a In А + A In ~ — х =
11 1 I 1 (х — ^
= А1пА+А[^--------
/(х) — А ^ &
(16)
Л - — — ?. (
dx = А 2 е е
¦J
dt.
о
(17)
1 Точный вывод равенств (18) и (19) с оценкой остаточного члена и дальнейшее их уточнение можно найти о книге Крамера Г., Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, § 12.5. — Прим. ред.
i? 12. Бета- и гамма-функции
75
Г(Л + \)=Х ^е ЯУ2^^1 4- ~-д] , (18)
где остаточный член —R отрицателен и является величиной порядка А-2. Последний множитель в (18) можно записать как
1 -р ^/12, где 0 < $ < 1.
В частности, для целочисленных А = п из (17) следует асимптотическое равенство
