Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Особенно важен для нас переход к полярным координатам, который в случае п переменных определяется формулами
(О =s <pj =s тс),
(О =s <р2 п),
Хх= Г COS (ft
х2 = г sin <рг cos <р2
г sin <р sin <р2. . . cos (рп-г (0 =s фп-1 < 2 zz),
хп = г sm срх sin <р,, откуда следует, что
sin (рП_г (0 = г),
(3)
zf + х\ + . . . + х\ = г2.
Однозначность этого преобразования в области
г sin (pj sin <р2. . . sin ф О
легче всего доказывается полной индукцией по п, отправляясь от случая плоскости (п = 2). А именно если предположить, что для п—1 переменных х2,...,хп однозначность преобразования
х2 = тг cos <р2 (0 == <р2 =S тс),
хг — г, sin <р2 cos <р3 (0 <р3 =s тс),
(4)
хп-г — rx sin <р2 sin q>3. .. cos <рп-х (0 =s <рп-х < 2 л),
xn = rx sin <р2 sin ср3 . . . sin <рп_г (0 =s rj
уже доказана, то для доказательства однозначности преобразования (3) нужно лишь (4) соединить с двумерным преобразованием
хг — г cos (0 г),
rx = г sin <р3 (0 =s =s jt, так как 0 =s гД
70
Гл. III. Математические вспомогательные средства
Таким же разложением преобразований и полной индукцией доказывается, что функциональный определитель преобразования (3) равен
Э(з?1,..хп) 9(/*, <р 1, • • •> фп—
— гп~1 0, (5)
где 0 зависит лишь от угловых переменных:
в = sin"-2 <рх sin"-3 <р2. . . sin2 <р„_j sin <р„_2.
При доказательстве равенства (5) переход от п — 1 к п производится так:
Э(з?д,. . . ,хп) __ _ 9(,Г1, х2,.. .,хп) Э(а?1, гь ф2,. .<pn-i) _
0(?*» фъ • ¦ • > фп—i) 9(^1, Vi, <р2, • • ¦> фп—i) Э(г, (pi, <р2,..., фп—i)
__ д(х2, х3)... х„) _ 8(a?i, п) _
9(г15 <р2,. .фп-i) 3(г, Ф1)
= г"-2 Sin"-3 <р2. . . sin'- (рп_з sin <рп_2 • г =
= (rsin^)"-2 sinn-3<p2... sin2<pn_3sin <р„_2 -г = rn_1 в.
Таким образом, формула перехода к полярным координатам имеет вид
|. . . _[/ dxl. . . dxn = | . . . J / г"-1 0 dcp1. . . dcp„_х dr. (6) Полагая в (6), для краткости, в dcp^. . . d<p„-x = dQ. получим
J” . . . J” / dxt. . . dxn — J . . . | / rn_1 dr dQ. (7)
Если область G простирается в бесконечность или вблизи границы области G подинтегральная функция не ограничена, то несобственный кратный интеграл по G определяется как предел интегралов по последовательности ограниченных областей Gv G2,. . ., в каждой из которых подинтегральная функция ограничена (предполагается, что объединение Glt G2, . . . совпадает с G). Если существование этого предела не зависит от последовательности областей Gv G2,... и сам предел конечен, то соответствующий несобственный интеграл называют сходящимся. У тех интегралов, с которыми мы будем иметь дело в этой книге, подннтегральные функции при стремлении хотя бы одного из аргументов к бесконечности убывают столь быстро, что сходимость становится очевидной. В случае неотрицательных функций (например, в случае плотности вероятности) всегда имеется конечный или бесконечный предел, независимо от выбора последовательности областей Glt G2........Таким образом, здесь при исследо-
вании сходимости можно ограничиться простейшими последовательностями областей.
§ 12. Бета- и гамма-функции
71
Формула замены переменных (2) остается справедливой и
для несобственных интегралов. Это же относится и к последовательному интегрированию (1), если только интегралы от обеих частей (1) сходятся.
§ 12. Бета- и гамма-функции
А. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Эйлерова гамма-функция Г(г + 1) для 2 + 1 > 0 (или, в
случае комплексного аргумента z, для He (z + 1)> 0) задается формулой
оо
r(z + 1) = j xz е~х dx. (1)
о
Несобственный интеграл (1) определяется как предел собственного интеграла
t
^xze~x(ix (la)
о
при t—>oo, поэтому интеграл (la) называют неполной гамма-функцией.
С помощью подстановок интегралу (1) можно придать другой вид: если положить х = at, то получим
оо
J е-<* dt = Г(а + 1), (2)
о
1 о
если же положить х = ¦ t-, то получим
J t'1 е~21’ dt = 2Z Г(г J- 1),
о
или, обозначив 2z + 1 = п и заменив t на t/cr}
00 2
Jtn dt = 2 2_ cr"+1 . (3)
