Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если статистические данные о результатах лечения получены пз двух рядов экспериментов, проводившихся не одновременно, то всегда следует ставить вопрос, не могут ли, помимо примененной терапии, с течением времен и оказывать влияние и другие факторы (колебания эпидемиологических условий, гигиенических условий, условий питания и т. д.)? В случае тромбоза, конечно, следует заключить, что решающим фактором оказалась новая терапия.
9. Сравнение двух вероятностей Cl
Е. ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ ФИШЕРА
Применяя тот же самый ход рассуждений, которым мы воспользовались в § 9 В для обоснования критерия %2 в предельном случае больших математических ожиданий, можно, как показал Р. Л. Фишер, построить точный критерий, для которого односторонний уровень значимости всегда не превосходит j8.
Конструкцию этого критерия можно уяснить на примере, заимствованном из работы Точера (К. D. Tocher, Biometrika, vol. 37, 130). Пусть наблюдались следующие числа:
кх = 2 1Х = 5 I (% = 7)
1с2 - 3 12 = 2 j (п2 = 5)
(К = 5) (L - 7) | (N = 12)
Из этих чисел образуем так называемую «таблицу 2 X 2» и рядом запишем все те таблицы 2x2, для которых суммы по строчкам и столбцам имеют те же самые значения, что и в первой таблице, а величины кх строго меньше соответствующей наблюденной величины:
Наблюденная Дополнительные
таблица таблицы
2 5 7 1 6 7 0 7\ 7
3 2 5 4 1 5 5 °! 5
5 7 12 5 7 12 5 7 12
Затем вычислим и сложим условные вероятности, соответствующие всем этим таблицам, предполагая, что 1с1 -j кг = К.
В данном случае получим
Р = 0,265 + 0,044 + 0,001 = 0,310.
Критерий гласит: Если сумма Г не превосходит /3, то гипотеза Pi = Рг отвергается в пользу конкурирующей гипотезы рх < р2.
Например, если j8 = 0,05 и из опыта получены указанные выше числа (2, 5, 3, 2), то гипотеза р1 = р2 не отвергается. Однако если бы осуществился один из двух случаев, соответствующих дополнительным таблицам, то гипотезу следовало бы отвергнуть. Условная вероятность осуществления «дополнительных» случаев удовлетворяет неравенству
0,044 0,001 < 0,05,
следовательно, условная вероятность того, что гипотеза Pi = P-2 будет ошибочно отвергнута, не превосходит 0,05.
02 Гл. II. Вероятности и частоты
Вообще, пусть А — событие, которое наступает тогда и только тогда, когда на основе указанного выше критерия гипотеза рх = р2 отвергается в пользу конкурирующей гипотезы рх < р.г. Обозначим Р[А\К) условную вероятность этого события при заданных значениях сумм по столбцам К = 1сх + К и L = + Z2 и в пред-
положении, что гипотеза рх = р2 справедлива. Тогда, в силу самой констр>укции критерия, всегда имеет место неравенство
Р(А\К)^Р. (14)
Безусловная вероятность события А равна
РМ) = 2 P(tf) РИ#). (15)
к
где суммирование распространяется на все возможные значения К. Так как, согласно (14), Р{А\К) =s р для всех К, то сумма (15) не превосходит р-.
Р(А)^Р2Р(К)=Р.
Следовательно, вероятность ошибки одностороннего критерия Фишера всегда не превосходит р. В случае двустороннего критерия эта вероятность не превосходит, конечно, 2р.
В действительности при малых или не очень больших щ и
п2 вероятность ошибки критерия Фишера оказывается, как
правило, существенно меньше 2р. Этот критерий излишне осторожен и требует значительно больше вычислений, чем критерий
§ 10. Частота редких событий
Л. ФОРМУЛА ПУАССОНА
Если в задаче Бернулли п велико, а вероятность р очень мала, так что пр является небольшим числом, то формулы (2), (3) и (4) из § 5 и связанные с ними следствия остаются, конечно, справедливыми, однако указанное там асимптотическое разложение уже не будет иметь места. Для этого крайнего случая Пуассоном найдена другая асимптотическая формула, а именно
W«~V.e~k-
Здесь Wк — вероятность того, что в последовательности из п независимых испытании редкое событие А осуществится ровно 1г раз, Л = пр — математическое ожидание к. Выражение (1) от гг зависит неявно. Эта формула применима ко всем редким событиям, таким, как несчастные случаи, случаи разрушения атомного ядра и т. д.
§ 10. Частота редких событий
03
Доказательство приближенной формулы (1) очень просто. Согласно точной формуле,
wt == (J), (1 -рГ-> g(, -ip .
Первый множитель не зависит от п, второй прп п —* оо стремится к е~х, а остальные множители стремятся к 1. Следовательно, предел Wk равен правой части (1).
До сих пор п было конечным числом (хотя, может быть, и очень большим), поэтому (1) являлась лишь приближенной формулой. Рассмотрим теперь идеализированный эксперимент, в котором число успехов может быть любым целым числом к =
