Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При делении множители р и q сократились, и найденный результат совпадает с формулой (1) § 8. Это означает, что условная вероятность Р(*. К — к\К) в точности равна вероятности появления к белых и I черных шаров при п-кратном извлечении из урны, содержащей К белых и L черных шаров.
Далее, если в (7) положить к2 = К — к и п2 = N — п, то получим
Следовательно, неравенство %2«s д- в точности совпадает с неравенством (7) § 8. По, согласно § 8, вероятность этого неравенства приближенно равна 1 — 2уЗ, что и требовалось доказать.
Идея этого доказательства принадлежит М. Гипперту. Формула (7) с А'— 1 в числителе впервые была указана X, Шеллингом; ранее вместо N — 1 всегда писали N.
Г. ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОСТОРОННЕГО И ДВУСТОРОННЕГО КРИТЕРИЕВ X*
На практике критерий %2 применяют не только для проверки гипотезы рг — рг, но также и для выявления, какая из двух вероятностей больше: рх или р2? Невольно напрашивается следующее правило (мы скоро убедимся в его справедливости). Если Х2> д1 и при этом кЛ > Л2, то следует считать, что рх > рг. С другой стороны, если %2 > д- и < Л2. то следует считать, что рх < рг.
(П)
? 9. Сравнение двух вероятностей
59
Если в действительности рх = р2, то, как мы видели, вероятность ошибочного заключения рхфр2 близка к 2/3. А именно, в силу обоснования критерия вероятности неравенств hx > h2 и 1гх < h2 приближенно равны, поэтому с вероятностью, примерно равной fi, может быть сделан ошибочный вывод рх > рй и почти с такой же вероятностью может возникнуть другой ошибочный вывод рх < р2.
По если рх <р2, то вероятность одновременного осуществления двух событий х2> и hx> h2 будет меньше р. Следовательно, в этом случае вероятность ошибочного заключения рх > р2 будет также меньше /3.
Аналогично если рх > р2, то вероятность ошибочного вывода Pi < Рг> полученного на основе критерия будет меньше, чем Д
Во всех трех случаях этого критерия вероятности ошибочных выводов не превышают 2/х
Если применяется односторонний вариант критерия то это означает, что заключение рх> р2 (или соответственно рх < р2) делается лишь в том случае, когда величина достаточно велика и hx > h2 (или, соответственно, hx < Л2); во всех остальных случаях от выводов воздерживаются. Практически очень часто, например, бывает интересно выяснить, действительно ли новое лекарство лучше старого? При этом не требуется ответа на вопрос, не будет ли действие нового лекарства одинаковым или худшим, чем действие старого? Доверительный уровень одностороннего критерия составляет лишь половину соответствующего уровня значимости двустороннего критерия.
Д. НАДЕЖНОСТЬ ПРИ НЕБОЛЬШИХ N
Критерий х1 можно уверенно применять и при небольших значениях N. На рис. 8, заимствованном из работы Гильдемац-стера и автора этой книги, графически изображена зависимость истинного уровня критерия от р для некоторых типичных случаев (приближенный уровень значимости выбран равным 2р -= = 0,01). Сплошные линии соответствуют случаю, когда в числителе (7) стоит N, а штриховые — случаю, когда N заменено величиной N — 1. Лишь в отдельных местах штриховые линии превышают 1%-ную границу, причем величина этого превышения мала и большинство кривых расположено ниже указанной границы.
Пример 9. С 1946 по 1951 г. в медицинской клинике Цюрихского университета для лечения последствий тромбоза—образования сгустков крови в кровеносных сосудах — 252 раза применялись антикоагулянты1. Из 252 пациентов умерли 7, следовательно, смертность равнялась 2,8%.
1 Pugatsch I., Zur Antikoagulanticnbehandlung dor Venenthromboson in der inneren Medizin, Diss. Zurich, 1954.
GO Г л. 11. Вероятности и частоты
С 1937 по 1942 г. антикоагулянты вообще не применялись. При подсчетах из всех случаев «консервативного» лечения тромбоза этих лет были исключены те, в которых лечение антикоагулянтами противопоказано. Оказалось, что из 205 оставшихся пациентов, подвергнутых консервативному лечению, умерли 37, т. е. 18,0%. Можно ли благотворность действия антикоагулянтов считать доказанной?
Вычисляя по формулам (6) или (7), получим
X2 = 30,2.
1 %-иая граница равна 6,6, 0,1 ?6-ная граница равна 10,8. Величина значительно превышает обе эти границы. Следовательно, о случайности
п,^пг-5 /?;=/?г = & п,=пг-7
Р и с. 8. Зависимость уровня значимости критерия /2 от р [из работы: Gildemeister und van der Waerden, Вег. sach. Akad. Wiss., 95 (1943)].
снижения смертности при антнкоагулянтной терапии не может быть и речи.
С методической точки зрения можно бы было возразить против того, что оба ряда опытов относятся к различным периодам времени. Статнстнк-фанатик, возможно, стал бы часть пациентов лечить консервативно и одновременно другую часть — но новой терапии. Однако медик, стремящийся сделать все возможное для спасения жизни пациентов, в случае грозящего смертью тромбоза никогда так не поступит.
