Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Второй путь связан с более простыми вычислениями, кроме того, он предпочтительнее и теоретически. Основной гипотезой, которую, может быть, следует отвергнуть и которая поэтому нуждается в проверке, является предположение, что различие Aj и Л2 чисто случайное и что в действительности р1 = р1. Посту-
О I 9
= o-j -1- сг|.
(2)
„2 __ ,, „2 __ ^2)
Sl~ И ~ Л,—1
и образуют сумму
(3)
Б. КРИТЕРИЙ х'
56
Гл. II. Вероятности и частоты
пая так, как поступал Сократ, когда он хотел диалектически опровергнуть утверждение своего собеседника, сначала допускают, что гипотеза р± = рг верна, и затем делают вывод: если эта гипотеза находится в противоречии с фактами, то ее следует отвергнуть.
В предположении, что Pi = р% = V, имеем
0-2 — VL д-2 _ и
и 1 — ^ > и 2 — ~ Щ. пг
„2________2 I „2 _ P2(”i + пг) __ pqN pq N*
U -------- U -1 "Г U о -- - - т’ ’ ,
х * N пгпъ
где N = пг пг. Теперь снова заменим неизвестную вероятность р соответствующей частотой. Для этой цели теперь имеется значительно больше материала, чем имелось раньше для отдельных Pi и Р%> так как Мы теперь можем объединить вместе результаты всех 2V = + и2 опытов, из которых h1Jrk2 = K дали поло-
жительный исход, a l1Jrl% = L — отрицательный. Поэтому р и q заменяют частотами
Н = § и 1-Я=4 W
и получают приближенное значение сг2 (в силу указанных в § 6 Б соображений знаменатель N заменяют на N—1):
о KL 1
5 — лТ—т-------• (5)
N — 1 щпг 4 '
Эта формула более надежна, чем выведенная ранее формула (З)1. Если окажется, что
| > Qs,
или, что то же самое,
(*,-*,)*>
ИЛИ
— 1) 2
-------гх---------
то гипотезу рх = Pi следует отвергнуть.
Положим
..2 (fei — h^nint(N— 1) ,еч
Л — KL
и назовем только что сформулированный критерий критерием
1 Это верно, если верна основная гипотеза. В противном случае более надежной может оказаться формула (3), так как формула (5) будет в этом случае давать приближенные значения сга со значительной систематической ошибкой. — Прим. перев.
$ 9. Сравнение двух вероятностей
Ъ1
X2 для сравнения двух вероятностей. Если и Л2 заменить их значениями, то вместо (6) можно написать
2 = (fclw2— Vh)2(^ — l)
^ KI-щп^ ’ '1'
В. ОБОСНОВАНИЕ
Для обоснования этого критерия нужно доказать, что если гипотеза pt = р2-верна, то вероятность неравенства
X2 ^ Ф (В)
приближенно равна
в
= (9)
о
При этом будет предполагаться, что и п2 являются большими числами и рх = р2 = р не слишком близки к нулю или к единице, так что математические ожидания рпЛ, рп2, qnx и qn2 также являются большими числами. Тогда с большой вероятностью будут велики кх, к2, 1Х = щ — кг и 12 = п2 — к2. Случаи, когда одно из этих четырех чисел мало, хотя и возможны, однако они не играют сколько-нибудь заметкой роли нри вычислении вероятности неравенства (8).
Пусть P(iQ — вероятность того, что кг + к2 примет определенное целочисленное значение К, и пусть Р(%'2 =s gl\K) — условная вероятность неравенства х1 =s g‘- в предположении, что кх + к= К. Тогда но ^юрмуле полной вероятности (§ 1, формула (7))
Р(*2 -= <Л = 2 ?{К) Р(Х2 * 9-\Щ. (Ю)
к
Следовательно, если мы сможем доказать, что все условные вероятности р(^2 =s g-\K) приближенно равны 1—2/3, то применение критерия х2 будет оправдано. Действительно, если каждый отдельный множитель в правой части (10) заключен в пределах 1 — 2/3 — ей 1 — 2)8+6, то левая часть (10) лежит в тех же пределах.
Вероятность, соответствующая паре значений (kx, к2) с кх -)-+ к2 = К, равна
Р(*„ h) = (?) Рк' Ф [I] IР*- Ф = III) (j)) РКФ-
58
Гл. II. Вероятности и частоты
Вероятность P(iQ совпадает с вероятностью того, что из N независимых испытаний ровно К испытаний будут иметь положительный исход, следовательно,
Условная вероятность, соответствующая паре значений {klt к2) при условии, что к1 + к2 = К, по определению условной вероятности (§ 1, формула (5) ) равна отношению