Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример S. Сущность выборочного метода, применяемого в статистике народонаселения и в экономической статистике, заключается в том, что статистическому обследованию подвергают лишь некоторую часть всего населения. Эта часть в том или ином смысле должна представлять все население (как говорят, выборка должна быть репрезентативной, т, е. представительной), папример население больших городов, малых городов и деревень, северных н южных областей и т, д. должно встречаться в выборке примерно в тех же соотношениях, которые характерны для всего населения страны. Тогда частоты, вычисленные по выборке (например, смертность но различным причинам), будут являться приближенными значениями соответствующих частот для всего населенпя. Какие при этом следует ожидать отклонения выборочных частот h от соответствующих частот Н для всего населения?
Если выборка из всего населения произведена случайно, то эта задача, очевидно, идентична нашей задаче с урной. Частотами, о которых шла речь, являются
h = - и Я = К- , (8)
п N
64
Г л. II. Вероятности и частоты
Среднее значение h равно Н, квадратичное отклонение h дается фор-му л ой
Следует ожидать, что отклонения |/г — Н| в 99?о всех случаев окажутся меньше, чем 2,58 • о-/,.
Обстоятельное изложение задач, связанных с выборочным методом, можно найти в недавно появившейся книге1: Schmette-rer L., Einfiihrung in die mathematische Statislik. Springer-Verlag, Wien, 1956, Кар. 2X.
Еще более важной задачей, чем задача оценки отдельной вероятности (особенно в медицине и биологии), является задача сравнения двух вероятностей. Например, если хирург испытал новый метод операции на ряде пациентов и при этом частота смертельных исходов оказалась меньше, чем при прежнем методе операции, то свидетельствует ли это об уменьшении смертности? Или, например, найдено новое лечебное средство против некоторой болезни; раньше из 400 пациентов умирали 40, т. е. 10%, а после применения нового средства из 50 пациентов умер лишь один, т. е. 2%. Свидетельствует ли это о действенности лекарства или же различие частот следует приписать влиянию случая?
Пусть найденные частоты равны
а соответствующие вероятности равны р1 и рг. Предположим, что оказалось h1> Л2; как велика должна быть разность — 1и. чтобы с достаточной уверенностью можно было утверждать, что Pi > Рг?
Как мы уже видели в § 5, случайная величина имеет среднее значениеpj и квадратичное отклонение <гг = ^p^Jn^ График функции распределения hx близок к гауссовой кривой сшибок с дополнительной асимметрией, влияние которой хорошо аппроксимируется дополнительными членами в формуле (1), § 6. Анало-
1 См. также Д у и и и ¦ Б а р к о в с к и ii И. В. и С .м и р н о в Н. В., Теория вероятностен и математическая статистика в технике (общая часть), ГИТТЛ, М., 1955; Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениям» (перевод с англ.), ИЛ, М., 1956. — Прим. перев.
KL(X — и) [ Н(\ —Н) X — п
ii (X — 1) / п Л’ — 1
(9)
§ 9. Сравнение двух вероятностей
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
§ 9. Сравнение двух вероятностей
55
гпчное обстоятельство справедливо и для Л2. Следовательно, разность \—Л2 имеет среднее значение —р., и дисперсию
В § 4 ( пример 5) мы видели, что разность двух независимых нормальных случайных величин снова подчиняется нормальному распределению. Если же hx и Л3 распределены лишь приближенно нормально, то At — Л2 будет также иметь приближенно нормальное распределение. Это приближение будет еще лучше, чем соответствующие приближения для распределений \ или h2, так как • функция распределения разности —h2 имеет меньшие скачки и меньшую асимметрию, чем функции распределения hx или Л*
Таким образом, мы, без сомнении, можем принять, что — Л2 имеет нормальное распределение со средним значением рг — р.г и квадратичным отклонением сг. Но тогда следует, что значения ] (— Л2)— (pt—р2)\, превышающие ^-кратное квадратичное отклонение, будут очень редки, причем g связано известным соотношением с заданным доверительным уровнем 2/5 (например, <7 = 2.58 при 2/3 = 0,01). Следовательно, если —h2 больше, чем да-, то можно считать, что разность рг — р2 положительна.
Но здесь опять возникает трудность, связанная с тем, что точное значение сг неизвестно. Имеются два пути для преодоления этой трудности. Идя по первому менее предпочтительному пути, в формуле (2) неизвестные величины сг2 п сг| заменяют их приближенными значениями
среднее значение которой равно сг-, однако в отдельных случаях s2 может заметно отклоняться от сг2. Вместо условия — h2 > до-теперь требуют, чтобы разность Aj — Л2 была больше, чем gs. Если пх и п2 велики, а частоты Лх и Л2 не слишком близки к нулю или к единице, то при применении этого правила с д = 2,58 наши выводы будут ошибочными в среднем лишь в одном случае из ста.
