Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
г ____________________из 4- • • • 4- ип Уп_ (22)
• V t’i 4 • • • 4 v\
Сравним теперь инте1рг:л (21) с интегралом (10), вычисленным в § 67. Ранее имелось 2(п — 1) переменных интегрирования
и2,. . ,,ип и t)2>. . ., vn, теперь же таких переменных имеется 2(п —2): и3. . . ., ип и v2„ . ., vn. Область интегрирования для интеграла
(10) § 67 определялась неравенствами
5? < a, ij < Ь, г < с.
Но если а и b устремить к бесконечности, то область интегрирования будет задаваться одним неравекстрсм г < с. Таким образом, интеграл (21) является частным случаем интеграла (10) § 67, псэгсму справедлива теорема:
Функция распределения выборочного частного коэффициента корреляции гху z равна функции распределения обычного выборочного коэффициента корреляции г, вычисленного по двум рядам независимых, нормально распределенных случайных величин хи . . .,хп_, и у1, . . уп_1г с той лишь разницей, что количество переменных в каждом рябу равно не и, ап — 1. Еще раз напомним, что эта теорема справедлива лишь в том случае, когда справедлива гипотеза, согласно котсрсй х—Az, у — /хг и г являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами. При этом наиболее важным является требование независимости; что же касается требования нормальней распределенности, то оно менее существенно,
Согласно этей теореме, для проверки зависимости случайных величин х — Аг и у — p.z можно воспользоваться табл. 13, считая число наблюдений равным п— 1 вместо п.
В. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
Результаты, полученные в этом и в предыдущих параграфах, можно вывести геометрически.
Пусть, например, п = 4 и пусть (и2,и3,и^), (v2,v3,v^) и (w2, w3, u-t) — компоненты трех векторов и, о и ш, расположенных в трехмерном пространстве. В этом случае [ии\ представляет собой квадрат длины вектора u, [uv] — скалярное произведение
374
Гл. XIII. Корреляция
ц ив, и гху — косинус угла <р между ц и р. Плотность совмест-
ного распределения случайных величин щ и vt (2 л)
л •- 1 — [ни] —о [ю>] е “
показывает, что все шесть векторных компонент ut и Vj взаимно независимы и распределены нормально. Этот же вывод останется справедливым и в том случае, если к и{ и Vj добавить еще wk.
Указанный закон распределения инвариантен относительно ортогональных преобразований. Таким образом, если одну из новых осей координат наиравшь вдоль вектора и, а две другие ь
Рис. 36.
ортогональные оси расположить в плоскости, перпендикулярной U, то в новых координатах одна компонента v' вектора t> будет параллельна вектору и, а две другие компоненты будут перпендикулярны и. При этом все компоненты независимы и подчиняются нормальному распределению. Компонента г/, параллельная и, распределена нормально с единичной дисперсией, а сумма квадратов компонент, перпендикулярных и, подчиняется распределению
X1 с двумя степенями свободы. Обозначим эту сумму квадратов г/'2. Отношение г// | v" | равно котангенсу угла <р (рис. 35), следовательно,
v' ___ COS <J> _ г
\v"\ ~ sin<p — УГЗГГ2 ¦
Этот результат объясняет, почему случайная величина t = -1^— V п — 2
! ' 1 — г.2 г
подчиняется распределению Стьюдента с п — 2 степенями свободы.
Если к векторам пив добавить еще вектор хо (рис. 36), то для вычисления выборочного частного коэффициента корреляции гхд\г нужно будет сначала и ир заменить векторами и" = и — ап> ис" = с — Ъю, перпендикулярными го. Выберем новую систему
§ 69. Распределение выборочного коэффициента корреляции 375
координат таким образом, чтобы одна из новых осей была направлена вдоль вектора ш, а две другие оси были перпендикулярны ш. Компоненты векторов и и D, перпендикулярные ш, определяются векторами и" и D"; косинус угла между и" и о" равен выборочному частному коэффициенту корреляции rxytz. Так как эти векторы расположены в плоскости, перпендикулярной т, то их размерность равна не и— 1, а п—2; кроме того, и'' и D'' подчиняются нормальному распределению. Отсюда ясно, что rxu\z имеет ту же самую функцию распределения, что и обычный выборочный коэффициент корреляции, но только с заменой тг на и— 1.
§ 69. Распределение выборочного коэффициента корреляции зависимых случайных величин
А. ДВУМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
До сих пор мы всегда предполагали, что, в действительности, х и у являются независимыми случайными величинами и что г лишь случайно отличается от нуля. Для зависимых х и у все становится значительно сложнее. Для того чтобы о распределении г можно было сказать что-то определенное, нужно сделать некоторые предположения о распределении хну.
Наиболее простым является предположение, согласно которому величина х распределена нормально, а у равна Л х + г, где 2 также распределена нормально и не зависит от х. Если дисперсия случайной величины х равна 1 /д, а дисперсия z равна 1/Л, то плотность совместного распределения пары (х, z) задается формулой
