Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 6. С 1871 по 1900 г. в Швейцарии родились 1 359 671 мальчик и 1 285 086 девочек (см. Polya, Handbuch dcrbiol. Arbeitsmethoden, S. 742). Что можно сказать о величине вероятности рождения мальчика?
Частота рождения мальчика равна
k 1 359 671
h = - =------------= 0,5141.
п 2 644 757
Число наблюдений очень велико, поэтому при расчетах можно, без сомнения, воспользоваться нормальным распределением. Квадратичное отклонение k равно
pq -Яй
— --= 0,0003. 4 я
Если условиться, что возможные отклонения р от h не превышают 3<т, то мы должны будем сделать заключение, что, по-видимому, вероятность р лежит в пределах 0,5132 и 0,5150.
В. ОДНОСТОРОННИЕ И ДВУСТОРОННИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ h
Неравенство (3) указывает двусторонние границы для частоты h. Вероятность того, что h будет удовлетворять этому неравенству, приближенно равна 2Ф(д) — 1.
Если теперь мы положим Ф(д) = 1 —ft, то вероятность того, что неравенство (3) выполняется, будет равна
2Ф(д) -1 = 1-2(3.
Следовательно, вероятность неравенства, противоположного (3), равна 2/J. Число 2/J можно сделать сколь угодно малым, если только выбрать д достаточно большим. Как уже упоминалось, для <7 = 2,58 будет 2/3 = 0,01.
Если неравенство (3) не выполняется, то это означает, что либо h меньше нижней границы, либо h больше верхней границы, определяемых неравенством (3):
Л — Р> д]1~ или А — р< — д][^ •
В обоих случаях вероятности почти одинаковы и, следовательно, приближенно равны /J. Для того чтобы прийти к этом} приближению, нужно в (1) пренебречь дополнительными членам!
44
Гл. II. Вероятности и частоты
с z и г3; следовательно, это приближение уже не такое хорошее, как (4). Однако если удовлетвориться этим грубым приближением, то можно сказать: с вероятностью ~ 1 — (3 имеет меспь неравенство
и точно так же с вероятностью ~ 1 — (3 имеет место другое неравенство
Правые части этих неравенств указывают односторонние границы для Л.
В табл. 3, в конце книги, указаны значения д, соответствующие различным доверительным уровням. В этой таблице доверительным уровнем односторонней границы называется величина /3, а доверительным уровнем двусторонней границы -- величина 2(5. Величины (3 и д связаны соотношением
Пусть в условиях, описанных в предыдущем параграфе, наблюдается некоторая частота h = h/n. Какие границы можно указать для неизвестной вероятности р?
Если требовать абсолютную надежность, то об этих границах нельзя сказать ничего более содержательного, чем то, что ими являются числа 0 и 1. Указание всяких других границ сопряжено всегда с риском совершить ошибку, вероятность которой называют доверительным уровнем. Допустимую вероятность ошибки, т. е. доверительный уровень двусторонних границ для р, мы будем снова обозначать 2(3.
Выбор доверительного уровня в значительной степени зависит от той цели, которую мы перед собой ставим. Например, тарифы компании по страхованию жизни должны быть рассчитаны таким образом, чтобы банкротство вследствие случайного повышения смертности было чрезвычайно маловероятным: здесь может оказаться неприемлемым даже уровень 0,01, так как он означает, что из ста таких страховых компаний в среднем одна обанкротится. С другой стороны, при статистических исследованиях в биологии и медицине имеется так много дополнительных источников ошибок (например, недостоверность теоретических пред-
Ф(д) = \-(3.
(9)
§ 7. Доверительные границы для неизвестной вероятности
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
§ 7. Доверительные границы для неизвестной вероятности
45
положений, упрощающие допущения и т. д.), что дополнительная ошибка от применения статистики, соответствующая уровню 0,01, представляется сравнительно безобидной. Очень часто удовлетворяются даже величиной 2/3 = 0,05.
Очень хорошие графические таблицы Коллера1 рассчитаны для уровня 2/3 = 0,0027, соответствующего утроенному квадратичному отклонению нормального распределения. Англичане в большинстве случаев пользуются уровнями 2/3 = 0,05 или 0,01. В качестве доверительного уровня в дальнейшем мы, как правило, будем выбирать 0,01. Однако теоретические выводы останутся справедливыми для любого /3.
Б. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРИ БОЛЬШИХ П
Согласно формуле (3) § 6, при больших п с вероятностью W = 1 — 2/3 выполняется неравенство
|А —d)
Вместо (1) можно также написать (A — p)2=s^p(l — р). (2)
Величину д, соответствующую заданному значению /3, можно найти в табл. 3, в конце книги, где в последнем столбце указаны величины д2. Например, если выбрать 2(3 = 0,01, то найдем, что д = 2,58 и д2 - = 6,63. Если же выбрать 2/3 = 0,05, то будет д = 1,96 и д2 = 3,84.
Если эмпирическую частоту А и вероятность р принять в качестве координат точки Q в плоскости hOp, то геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (2), будет замкнутая область с границей в виде эллипса, целиком расположенная между прямыми с уравнениями А = 0 и А = 1. Эллипс проходит через точки с координатами (0,0) и (1,1) и касается горизонтальных сторон единичного квадрата. Величины осей эллипса зависят от д и п: чем больше число опытов п, тем уже эллипс. Положение точки Q зависит от случая, так как координата h является случайной величиной. Вероятность попадания точки Q внутрь или на границу эллиптической области при любом
