Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Простоты ради предположим, что в каждом опыте имеется лить две возможности А и А, например, либо пациент умирает, либо не умирает. Смерть первого пациента является событием Аг, смерть второго — событием А.г и г, д. до Ап. Предполагается, что
1. Все опьпы Е = А1 -j Alt Е = А3 + А2, . . ., Е = Ап Ап независимы.
2. Все вероятности р[А^), р(А2), . . ,, ф(Ап) имеют одно и то же значение р.
Может показаться, что в приложениях к конкретным практическим задачам условие 2 выполняется редко. Пациенты данного хирурга имеют неодинаковую конституцию: у одних сердце лучше, у других хуже; большое значение имеют возраст и пол и т. д. Однако все это не мешает применимости теории, поскольку выбор пациентов не систематический, а случайный. Если наш хирург принимает пациентов независимо друг от друга и в том порядке, в каком они к нему поступают, то условие 2 можно считать выполненным. При этом не исключается, конечно, определен-з*
36 Гл. 11. Вероятности и частоты
ный отбор для выявления тех пациентов, которым операция не нужна или для которых она слишком опаспа. Недопустим лишь такой порядок операций, когда, например, сначала оперируют только мужчин, а затем — только женщин: мужчины и женщины должны следовать друг за другом в случайном порядке. Если Р(Ж) — вероятность того, что на операционном с голе находится женщина, и Р(С|Ж) — вероятность смерти женщины, а р(М) и р(С\М) —соответствующие вероятности для мужчин, то по формуле полной вероятности (§ 1) вероятность смерти случайно выбранного пациента равна
Р(0) = Р(Ж)Р(С\Ж) |-Р(М)Р(С|Ж). (1)
Таким образом, вероятность р(С) остается постоянной, и поэтому условие 2 выполняется даже в том случае, когда условные вероятности смерти мужчин и женщин различны. Это заключение остается также справедливым, если пациентов классифицируют вместо пола по какому-нибудь другому признаку, и вероятности смерти для различных классов различны.
При фармакологических опытах, в которых подопцтных животных подвергают действию определенного яда или какого-либо другого вещества, стремятся к тому, чтобы все животные находились в наиболее сходных условиях. Поэтому дозы вещества выбирают не равными, а пропорциональными весу животных. Однако для применимости общей теории это не является необходимым, так как если животные выбираются случайно и независимо (без учета их веса), то можно спокойно подвергать их воздействию одинаковых доз и, несмотря на это, считать, что вероятность реагирования одинакова для всех животных. Обосновать это можно точно так же, как в разобранном выше случае пациентов мужского и женского пола. Кроме того, следует отметить, что индивидуальное различие подопытных животных по их чувствительности к яду столь значительнее различия и весе, что последним без колебаний можно пренебречь.
В теории вероятностей обычно полагают
р (Л)=р и Р (А) = q (p+q= 1).
Вероятность того, что в последовательности из п опытов к раз произойдет событие А и оставшиеся I раз — событие А, согласно Бернулли.равна
wk = [l)pkgl = PV (1 = п — к). (2)
Доказательство. Вероятность того, что в к определенных случаях наступит событие Л, а в остальных случаях -- собы-
§ о. Биномиальное распределение 37
тие А, равна pkq'. Количество различных комбинаций по к случаев из общего числа п равно j. Следовательно, вероятность того, что в каких-либо к случаях наступит событие А, а в остальных — событие А, равна J
Б. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ЧИСЛА НАСТУПЛЕНИИ СОБЫТИЯ
Если для каждого г определить случайную величину ж,-, принимающую значения 4-1 или 0, смотря по тому, осуществляется ли при г'-м опыте событие А,- или нет, то сумма
X = Хх -1- х2 + . . . 4 Хп
будет случайной величиной, принимающей значение к, если событие А наступит к раз. Величины ж, независимы, так как
опьпы Е = А,- 4 А/ предполагаются независимыми. Среднее зна-
чение величины ж,- равно
б ж,- =-- р • 1 4 q ¦ 0 = р.
Аналогично, средним значением величины х? является Sx* = р ¦ 1 + q -0 = р.
Следовательно, дисперсия величины ж,- равна
сг; = б х? - (б ж,)- = р — р” = р (1 - р) = pq.
Среднее значение и дисперсия величины х = хг 4 ¦ • ¦ 4 хп равны
б ж = пр, (3)
а-- = а-\ 4 ... 4 о-2 = npq.
Поэтому квадратичное отклонение величины ж имеет вид
о- = У npq. (4)
В. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что случайная величина ж — пр примет значения, по абсолютной величине намного превышающие о-, чрезвычайно мала. События, имеющие очень маленькую вероятность, следует рассматривать как почти невозмоо/сные; при однократной реализации условий, для которых эти события теоретически возможны, нельзя рассчитывать на их осуществление. На этом принципе основано вообще
