Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В силу независимости х и у, вероятность того, что х лежит в пределах а и Ъ, а у — в пределах с ц d, равна произведению
Ь d Ь d
J" f(u) du J g(v) dv j J f(u) g(v) du dv.
а с ас
Следовательно, пара случайных величин (х, у) имеет плотность вероятности
f(u, v) = f(u) g(v).
Значение функции распределения H(t) случайной величины х А- у ъ точке t равно вероятности того, что х у < t:
H(t) -?(х у< t).
По теореме II эта вероятность равна двойному интегралу
H(t) = | J f(u) g(v) du dv.
u + u<(
Этот интеграл можно записать в виде повторного интеграла:
4 оо t — Ц
U(t) — J<iwJ/(w) g(v) dv.
Если во внутреннем интеграле ввести новую переменную интегрирования w — и -\- v, то получим
-(-оо (
11(1) = | duJ f(u) g(u> — и) die.
4. Интегральные представления средних значений и вероятностей 33
Меняя порядок интегрирования (для неотрицательных функций такая замена всегда возможна), найдем
I Т оо
П(1) -- j dwJ f(u) g(w — и) du. (6)
Эта функция распределения обладает плотностью вероят-
ности
h(t) = j f(v) g(i - и) du. (7)
Таким образом, имеет место
Теорема III. Плотность вероятности суммы независимых случайных величин с плотностями f(t) и g(t) дается формулой (7).
Пример 5. Случайные величины sc и у независимы и подчиняются нормальным распределениям. Какова функция распределения суммы х + у?
Пусть плотности вероятности х и у имеют вид
1 _ I
f(t) -- ---—е 2 ^ а , (8)
сг ] ' 2 л
9(1) ' - ---е 2 I г J . (9)
т |' 2 я
Без ограничения общности можно предполагать, что а — Ъ-- О, так как заменой х и у па х —а и у — b соответственно мы всегда можем прийти к этому случаю. По теореме Ш сумма z = - х -4- у имеет плотность вероятности
-|- оо Н-00
_1 Г- I <*~U)21
h(t) — I j(u) g(t — и) du =------ I с 2 Lu; t2 -I du =
j /(“) 9(t — m) du = j
¦J'!
------{fj«2 — 2.rtu +. v) ,
9 r du, (10)
где
11 t Г-
+ P = ~> y=~-
(Г T" T* T“
Вводя новую переменную интегрирования
в
V = и — , (11)
га
получим
+ оо
1 Г - 1 _ 1 Л
Mt) = ---------\С 2 2 de, (12)
/7ГСГТ I
3 Б.
Л. ван дер Вардгн - 1062
34
Гл. I. Общие основы
где
а. у — /S2 (tr 2 1- т 2) 1г т 2 - t 's т 4
а сг 2 -|- т 2
или
h(l) =
J'
2 7ГСГТ
2 7ГСГТ
1
е 2 о1 + т!
(13)
}2я(о-г -j- т2)
Таким образом, z подчиняется нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией о-2 -J- т2. Следовательно, исходная сумма х ?/ также распределена нормально со средним значением о + 6 и дисперсией
(Г2 -j- т2.
Это же самое справедливо и для разности х — у с той, конечно, поправкой, что среднее значение в этом случае будет равно а — Ъ.
Повторным применением найденного результата устанавливается, что сумма произвольного количества независимых нормальных случайных величин снова распределена нормально.
ГЛАВА II
ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ
В этой главе основными являются первые три параграфа (§ 5,
6, 7). Последующие три параграфа (§ 8, 9, 10) посвящены приложениям к демографической статистике, медицине, биологии и физике. Тот, кто желает быстрее познакомиться с важными понятиями «эмпирического среднего» и «эмпирического квадратичного отклонения», может от § 7 сразу перейти к § 18.
§ 5. Биномиальное распределение
А. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Предположим, что опыт, результат которого зависит от случая, многократно реализуется при одинаковых условиях. Например, ботаник путем скрещивания определенного родительского материала выводит потомство и классифицирует его по окраске цветов или по другим признакам. Каждый потомок является продуктом случая, а различные окраски цветов — возможными результатами опыта. Или хирург производит одну и ту же операцию над рядом пациентов и подсчитывает, сколько пациентов выздоравливает и сколько умирает.
