Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Лишь в одном случае методы получения асимптотически эффективных оценок оказываются, безусловно, необходимыми, а именно, тогда, когда нужно проверить гипотезу о том, что кривая эффекта является нормальной. В этом случае применяют критерий Xй (§51). Выражение хг зависит от оценок пр для математических ожиданий. Для того чтобы %2 не было слишком велико, нужно, чтобы эти оценки были асимптотически эффективными. Согласно § 50, такие асимптотически эффективные оценки можно получить методом наибольшего правдоподобия. Несколько более удобным является эффективный метод минимума Хо (§ 48) (пр^ в знаменателях xi можно найти, например, с помощью графического метода).
1 Bliss С. I., Annals of Applied Biol., 22 (1935), 134, с дополнением
Fisher R. A., 149. Этот метод обстоятельно изложен в книге: Finney D. J., Frobit Analysis, Cambridge TJniv. Press, 1947.
266
Гл. X. Обработка результатов биологических испытаний
В. МЕТОД ДВУХ ТОЧЕК
Согласно этому методу, животных подвергают воздействию лишь двух доз испытываемого вещества, наблюдают соответствующие частоты h± и h2 и на вероятностной бумаге (см. рис. 27) через точки с координатами (xlt ^(Ai)) и (х2, W(h2)) проводят прямую линию. Абсцисса точки пересечения этой прямой с осью Ох является оценкой для 50%-ной дозы.
Этот метод можно применять лишь тогда, когда количества подопытных животных велики, а параметры L и о- кривой эффекта (1) заранее приближенно известны. Для того чтобы, с большой вероятностью, обе точки были расположены по разные стороны от 50%-ной прямой х = L, нужно, чтобы первая доза была значительно меньше 50%-ной дозы, а вторая доза — значительно больше 50%-ной дозы. С другой стороны, нельзя допускать, чтобы дозы слишком отклонялись от 50%-ной дозы, так как если эмпирическая смертность будет равна 0 или 100%, то соответствующую точку нельзя будет нанести на вероятностную бумагу. Эти недостатки1 усугубляются еще и тем, что изложенный метод существенно зависит от предположения нормальности кривой эффекта и что точность этого метода оценить очень трудно, а может быть, и вообще невозможно. Мне представляется более предпочтительной такая постановка эксперимента, при которой можно применять метод площадей.
г. метод одной точки
Если приближенное значение для углового коэффициента прямой известно из других экспериментов, то наиболее точным методом получения оценки для L является метод одной точки, согласно которому ко всем подопытным животным применяется лишь одна доза, по возможности близкая к средней дозе L. В результате эксперимента получают точку (х, у), через которую проводят прямую с известным угловым коэффициентом 1/а-. В качестве оценки для средней дозы L принимают абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох\
М = х — сту. (4)
На практике сг, конечно, заменяется оценкой s. Этот метод является надежным только тогда, когда примененная доза близка к средней смертельной дозе L. Следовательно, сначала с помощью предварительных опытов нужно определить приближенное значение для средней смертельной дозы (например, по методу площадей) и лишь затем применять метод одной точки. О вычислении
1 По этому вопросу см. Behrens und КагЪег, Archiv exp. Path., 177 (1936), 637.
§ 55. Методы « вверх и вниз»
267
средней ошибки М см. мою ранее цитированную работу в журнале Archiv exp. Path., 195 (1940).
Метод одной точки использует лишь среднюю, наиболее крутую часть кривой 'эффекта. Следовательно, он мало зависит от предположения нормальности кривой эффекта.
Д. ЛОГИСТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ
Вместо нормальной кривой эффекта можно, следуя Берксону1, принять за основу так называемую логистическую кривую, уравнение которой задается формулой
Р = ^+1'
где г — линейная функция от х. Если г возрастает от —м до + оо, то функция (5) так же, как Ф{г), возрастает от 0 до 1. Функция (5) очень мало отличается от функции нормального распределения. Кривая с уравнением (5) так же, как нормальная кривая, симметрична относительно точки с координатами 2 = 0, р= 1/2:
P(z) +р(— 2) = 1.
Уравнение (5) можно легко разрешить относительно г:
Величины г, определяемые формулой (6), называются логитами. Вычисления с помощью логитов выполняются легче вычислений с помощью указанных ранее пробитов у = W(p). Все методы пробит-анализа (графический метод, метод наибольшего правдоподобия, метод двух точек и метод одной точки) можно с одинаковым или еще большим успехом применять для логит-анализа.
§ 55. Методы «вверх и вниз»
А. МЕТОД ДИКСОНА И МУДА
Диксон и Муд2 указали метод, который при меньшем количестве опытного материала позволяет получать столь же точные оценки, как и методы, изложенные выше. Согласно этому методу, сначала нужно выбрать исходную дозу (I — логарифм этой дозы) и подвергнуть ее воздействию одно животное. Затем, смотря по тому, реагирует ли животное определенным образом (например, умирает) или нет, логарифм уменьшается или соответственно
