Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно формулам (6) и (8), получаем1
М = 0,957, sm — 0,016.
Следовательно, логарифм средней смертельной дозы равен L = 0,957 ± 0,016:
Этот результат показывает, что бессмысленно пользоваться более чем трехзначными логарифмами доз. Даже второй знак у М не заслуживает доверия, так как выборочное квадратичное отклонение превышает единицу второго десятичного знака.
С помощью этого же самого экспериментального материала, но другим методом, связанным с большим количеством вычислений, Блисс2 нашел, что
L = 0,961 ± 0,0166.
Отсюда видно, что метод площадей по точности почти не уступает более сложным методам вычисления оценок, основанным на предположении нормальности кривой эффекта. В заключительной части моей только что цитированной работы получен более точный результат, согласно которому средняя ошибка метода площадей, в случае одинаковых количеств животных, лишь на 1 % превышает среднюю ошибку метода наибольшего правдоподобия, в предположении, что кривая эффекта является нормальной.
§ 54. Методы, основанные на предположении нормальности кривой эффекта
Если предположить, что логарифмическая кривая эффекта представляет собой график функции нормального распределения, то в нашем распоряжении окажется целый ряд методов обработки наблюдений.
А. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Основой графического метода является такое преобразование оси Ор, при котором кривая эффекта превращается в прямую.
Абсциссу I, равную логарифму дозы, теперь удобнее обозначить буквой х. Тогда, согласно (1) §52, нормальная кривая эффекта будет задаваться уравнением
P=®(s=i). (1)
'Van der Waerden, Archiv f. exp. Pathol., 196 (1940), 389. “Bliss С. I., Quarterly Journal Pharmacy and Pharmacol., 11 (1938),
'202.
264________Гл. X. Обработка результатов биологических испытаний
Введем теперь новую зависимую переменную у, связанную с р соотношением
V = Ф{У) или у = W(p). (2)
В новых координатах х и у уравнение кривой эффекта будет иметь вид
у = х~^. (3)
Это уравнение задает прямую линию.
Иногда, для того чтобы не иметь дела с отрицательными
числами, к значениям у прибавляют 5 и суммы у + 5 называют
Рис. 27. Графическая оценка двух параллельных кривых эффекта методом прббитов.
прббитами. Однако с целью получения более простых формул мы будем пользоваться самими величинами у, а не у + 5.
Для того чтобы оценить L и сг, на оси Ох откладывают лога* рифмы применяемых доз, а на оси Оу пробиты y=W(h), соответствующие частотам А. Затем проводят такую прямую, которая возможно меньше отклоняется от полученных точек с координатами (х(, Vi)-Существует бумага, похожая на миллиметровую бумагу и устроенная таким образом, чтобы точки (х„ yt) можно было наносить без. предварительного вычисления логарифмов и пробитов (рис. 27).
Трудность заключается в том, что при А = О или А = 1 соответствующие пробиты принимают значения —оо или -f°°-Для того чтобы преодолеть это затруднение1, сначала по наблю-
1 Prigge В. und Sch.&fer W., Arch. exp. Path., 191 (1939), 303.
§ 54. Методы, предполагающие нормальность кривой эффекта 265
денным частотам А вычисляют доверительные границы рг и рг, причем в формулах из § 6 целесообразно положить g = 1: в этом случае границы не будут слишком широкими. Затем по этим рх и р2 вычисляют соответствующие границы пробитов ух и у%, согласно формуле (2). В результате для каждой дозы получают отрезок, параллельный оси Оу и расположенный между точками с ординатами уг и уг. Если А = 0 или А = 1, то этот отрезок распространяется вниз или соответственно врерх до бесконечности. Предположительную прямую эффекта проводят таким образом, чтобы она пересекала все или по крайней мере большинство этих отрезков. Если это можно сделать многими способами, то прямую выбирают так, чтобы она проходила возможно ближе к точкам, соответствующим тем наблюденным частотам hit которые отличны от нуля и от единицы.
Этот метод иллюстрируется рис. 27, заимствованным из работы, цитированной в предыдущей сноске.
Б. НАИБОЛЬШЕЕ ПРАВДОПОДОБИЕ
Результаты графической оценки можно улучшить с помощью метода наибольшего правдоподобия1. Этот метод, однако, требует очень большого количества вычислений, которые, по-моему, никогда не окупаются. Кажущаяся точность пробит-анализа является лишь иллюзорной, так как все выводы основываются на весьма недостоверной гипотезе о нормальности кривой эффекта. Если тем не менее обработку наблюдений все же рискуют строить на столь скользкой почве, то можно вполне довольствоваться грубыми графическими оценками. Для того чтобы получить для неизвестных параметров более надежные приближения, точность которых можно оценить, следует применить метод площадей, не зависящий от гипотезы нормальности кривой эффекта.
