Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
параллельного сдвига.
На практике, как правило, каждый препарат сравнивают с некоторым стандартным препаратом и стремятся оценить эффективность любого препарата относительно стандартного.
Многие кривые эффекта возрастают от 0 до 1. Это означает, что на очень сильные дозы реагируют все подопытные животные. Однако бывают случаи, когда определенная доля подопытных животных нечувствительна к действующему веществу и не реагирует на самые большие дозы. Тогда кривая возрастает только до некоторого предельного значения рм< 1. Для кривых этого типа обработка наблюдений более трудна.
Здесь мы ограничимся в основном лишь кривыми первого типа, которые возрастают от нуля до единицы.
Логарифмические кривые эффекта, наблюдаемые в природе, очень часто соответствуют графикам функций нормального распределения:
р=®(^'). о)
где I — логарифм дозы, L — логарифм 50%-ной дозы1, <г — квадратичное отклонение нормального распределения и, как всегда в этой книге,
U
(2)
Существуют методы обработки наблюдений, целиком основанные на предположении такой «нормальности» кривой эффекта.
Рис. 25. Логарифмическая кривая эффекта.
1 50%-ной дозой называют такую дозу, для которой р = 0,5. — Прим. перев.
§ 53. Метод площадей Берэнса и Кербера
259
Их называют «пробит-методами». Однако только в очень редких случаях это предположение проверено на достаточно обширном экспериментальном материале. По этой причине здесь сначала будут рассматриваться такие способы, которые не зависят от предположения нормальности кривой эффекта и используют лишь более слабее предположение о том, что с ростом дозы вероятность р возрастает от нуля до единицы.
В дальнейшем для простоты мы будем всегда называть вероятность р «смертностью», хотя излагаемые методы применимы не только к смертельным ядам, но и к любым биологическим препаратам. Мы будем также часто говорить «доза I», подразумевая под дозой ее логарифм I. Буквы I или L достаточно ясно указывают на логарифм.
§ 53. Метод площадей Берэнса и Кербера1
Основой этого метода является понятие средней смертельной дозы. Если на рис. 25 провести вертикальную прямую таким образом, чтобы обе заштрихованные области, ограниченные кривой эффекта и указанной прямой, имели одинаковые площади, то абсцисса L точки пересечения этой прямой с осью 01 называется логарифмом средней смертельной дозы. Если кривая эффекта центрально-симметрична, то средняя смертельная деза равна 50%-ной дозе.
Смысл выражения «средняя смертельная доза» можно выяснить следующим образом. Предположи^', что для каждого подопытного животного существует определенная наименьшая величина дозы, при которой животное заведомо умирает. Если подопытное животное выбирается случайно, то логарифм такой смертельной дозы является случайной величиной, в смысле § 2. Функция распределения F(l) этой случайной величины I представляет собой вероятность смерти животного от дозы I. Таким образом, значение функции F(l) в точке I совпадает со смертностью р от дозы I (под дозой мы всегда будем понимать логарифм дозы). Поэтому график функции F(l) является логарифмической кривой эффекта. Согласно результатам § 3, среднее значение случайной величины I равно интегралу
оо
Ql=$ldF(l).
1 КагЪег Е., Archiv exp. Path., 162 (1931), 480; Behrens und Iv a r b e г, Archiv exp. Path., 177 (1935), 637.
17*
260
Гл. X. Обработка результатов биологических испытаний
Если в этом интеграле в качестве новой переменной интегрирования выбрать р = F(l), то получим
х
? J = j 1{р) dp = L. (1)
о
Следовательно, L является средним значением логарифмов индивидуальных смертельных доз подопытных животных.
Дисперсия о-2 случайной величины I точно так же определяется интегралом
«э X
«г» = б (I - Lf = J (I - Lf dF(l) = j [1{р) - Lfdp. (2)
—сю О
Для определения дозы L можно воспользоваться также следующим методом. Пусть 10 ¦— столь малая доза, что соответствующая ей смертность р0 практически равна нулю, и пусть доза 1Ш так велика, что соответствующая смертностьпрактически равна единице. Если на рис. 25 провести прямые с уравнениями I == 10 и 1 = 1Ш, то площадь прямоугольника с высотой, равной единице, и основанием, лежащим между L и 1Ш, будет приближенно1 равна площади, расположенной между осью 01 и кривой эффекта:
L I
Это равенство можно разрешить относительно L:
L = lm-~\pdl. (3) i.
Если интервал от годо ^разделим на (та -f 1) частичных интервалов, граничными точками которых являются 10,1Л,..., 1п+1 = 1Ш, то интеграл в формуле (3) можно приближенно заменить суммой площадей трапеций (рис. 26); трапеция в любом интервале (10 li+1) получается заменой соответствующего отрезка кривой эффекта прямолинейным отрезком, проходящим через точки р(Z,)) и (^+1 > P(h+1)):
