Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
30
Г л. I. Общие основы
Б. ДВУМЕРНЫЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
Говорят, что пара случайных величин (х, у) обладает плотностью вероятности f(u, v), если для любых действительных а < Ъ и с < d вероятность события
х < Ъ н с *sy < d равна интегралу функции f(u, v) по прямоугольнику
a*su<b, c*sv<d
в плоскости uOv:
Ь (I
Р(а х < Ъ, с =е у < d) = J j f{u, v) du dv.
a с
Интеграл в правой части должен быть обычным римановым интегралом; предполагается, что функция /(м, v) интегрируема по Риману.
Теперь мы можем распространить формулу (16) из § 3 на функции двух переменных:
Теорема I. Если пара случайных величин (х, у) обладает плотностью вероятности {(и, v), а функция g(u, v) интегрируема по Риману, то
-J-oo —|— оо
Qg(x,y)=\ ^g(u,v)f(u,v)dudv, (1)
— оо — оо
причем предполагается, что (риманов) интеграл справа сходится. Аналогичное утверждение справедливо для произвольного количества случайных величин х, у,. . . .
Доказательство. Сначала в плоскости uOv рассмот- у рим большой квадрат — п =s и < п, — n^v < п и предположим, что функция g(u, v) вне этого квадрата равна нулю. Наш квадрат можно разбить на т2 одинаковых частей, являющихся также квадратами. Если теперь на каждом частичном квадрате заменить функцию д(и, v) ее верхней и нижней гранями, то получатся кусочно-постоянные нижняя функция дг(и, v) и верхняя функция g2{u,v). Для случайных величин д1(х,у)и д2(х,у), принимающих лишь конечное число значений, справедливость формулы (1)
очевидна:
6 9i{x, У) = J J дАи, v) f(u, v) du dv, (2)
б д^х, у) = J J д2(и, v) f{u, v)du dv. (3)
Левая часть (2) представляет собой сумму возможных значений
gt(x, у), умноженных на соответствующие вероятности, а правая часть -- сумму интегралов по частичным квадратам. Если в
§ 4. Интегральные представления средних значений и вероятностей 31
каждом таком интеграле вынести постоянный множитель v) за знак интеграла, то справа получим ту же сумму, что и слева. Доказательств;: справедливости формулы (3) будет аналогичным.
Для произвольной пары значений х,у случайных величин х, у имеем, очевидно,
Если теперь стороны частичных квадратов устремить к нулю, то правые части (2) и (3), между которыми заключено &д(х,у), будут стремиться к правой части (1). Отсюда следует справедливость формулы (1) для видоизмененных функций д^Ци, v), принимающих нулевое значение вне большого квадрата.
Теперь остается совершить предельный переход при п ^ оо, который просто осуществляется применением теоремы из лебеговой теории интегрирования. Согласно этой теореме, интеграл по сумме множеств Лх + Л2 + . . . равен сумме интегралов по Аи А2,.... В нашем случае является событием, которое наступает, если точка (ж, у) попадает в квадрат — 1 «и < 1,
— 1 =s v < 1. Аналогично, наступление события Ау -j- А2 связанс с
попаданием этой точки в квадрат —2 м < 2, —2 =s г> < 2 и т. д. Интеграл Лебега от случайной величины д(х, у) по множеству Аг + А2 -j- Ап, согласно доказанному, равен
интегралу Римана от произведения д(и, v) f(u, v) по квадрату
— n=su < п, — n=s v < п. Отсюда непосредственным предельным переходом при п —> оо получаем формулу (1).
В. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Важнейшее применение теоремы I заключается в следующем. Пусть G — произвольное открытое множество в плоскости uOv н пусть X — случайная точка с координатами (ж, у). Спрашивается, какова вероятность события «X принадлежит 6г»?
Для того чтобы осуществить возможность применения теоремы
I, мы введем функцию
Среднее значение случайной величины д(х,у) равно вероятности того, что X принадлежит G. Формула (1) в этом случае получает вид
9i(x, У) « д(х, у) « дг(х, у),
откуда следует
& Ui(x, i/)=sg д(х, у) *5 S д2(х, у).
j 1, если (u,v) принадлежит G, 9(и> v) | о, если (и, г)) не принадлежит G.
(4)
Г л. I. Общие основы
Результат может быть без труда обобщен для произвольного количества случайных величин:
Теорема II. Если совокупность случайных величин х.у. . . . обладает плотностью вероятности f(x, у,. . ,), то вероятность попадания случайной точки X с координатами х, у, . . . в произвольную область G равна интегралу от функции / по этой области'.
Р(Х 6 G) = [ f(u, V. . . .) du dv . . . . (5)
G
Г. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Применим теорему II к решению следующей задачи: Две независимые случайные величины хну имеют плотности вероятности f(u) и g(v). Какова функция распределения суммы * + !/?
