Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
отношение сигнал-помеха при условии, что фильтр всегда согласован с
сигналом, обычно полагают постоянными энергию сигнала
Е - - 7 |g (ю)|2 dco (10.45)
71 Q
и мощность помехи на входе фильтра (10.7).
При изменении спектров сигнала и помехи могут быть два случая. В первом
случае задается спектр помехи N(со), а спектр сигнала
выбирается так, чтобы получить максимальное значение q2,
которое обозначим <72тах. Во втором случае задается спектр сигнала, а
спектр помехи выбирается так, чтобы на выходе фильтра получить
минимальное значение <72min. В обоих случаях с изменением спектров фильтр
перестраивается так, чтобы быть согласованным в соответствии с формулой
(10.43).
Изменение спектра сигнала. Поскольку |g(co)|2^0 и Лг(и)^0, до из формулы
(10.44) получаем неравенство
? l?Ml2dco=-M- . (Ю.46)
**min о ^min
Здесь Nmin - наименьшее минимальное значение спектральной плотности
помехи, поскольку в общем случае минимумов N (со) может быть несколько.
Чтобы q2 достигло значения q2max= = 2E/Nmi", необходимо сосредоточить
спектр сигнала в той области частот, где N (a) =Nmin или близко к этому
значению, что влечет за собой сужение спектра сигнала.
Если ширина спектра помехи F"=WJ2n и мощность помехи 1(10.7) коНечна, то
средняя спектральная плотность помехи
Л^ер - 2 п PJWU. (10.47)
Для помехи с равномерным спектром всегда выполняется равенство
Nmin=Мер=Af0. Если в этом случае помеха перекрывает
сигнал по спектру (ширина спектра сигнала F^.Fn), то максимальное
значение отношения сигнал-помеха q2max=2E/No.
199
Для помехи с неравномерным спектром всегда справедливо не-равенство
Afmln<Ncp = N0.
Таким образом, любая неравномерность спектра помехи дает принципиальную
возможность увеличить отношение сигнал-помеха в случае подстройки спектра
сигнала под помеху.
Изменение спектра помехи. Помеха подстраивается под сигнал, а фильтр -под
сигнал и помеху согласно (10.43). Помеха выбирается так, чтобы получалось
минимальное значение отношения сигнал-помеха, т. е. <72=<72min• Это
вариационная задача на условный экстремум. Действительно, изменяя Af(co),
надо минимизировать интеграл (10.44) при условии, что мощность помехи
(10.7) Рп= =const. Такая задача относится к изопериметрическим. Ее
решением является спектральная плотность
Поскольку Я постоянная величина, спектральная плотность помехи должна
совпадать по форме с амплитудным спектром сигнала. Соответственно
При этом обязательным условием является существование интеграла от правой
части равенства (10.49). Отметим, что для реальных сигналов данное
условие всегда выполняется. Решение (10.48) соответствует минимуму
интеграла (10.44):
Предположим, что сигнал и помеха сосредоточены в некоторой области частот
S, ширина которой W=2nF. При этом энергия сигнала и мощность помехи
определяются выражениями (10.45), (Ю.7), в которых пределы интегрирования
определяются областью S. Согласно неравенству Буняковского - Шварца из
формулы
(10.50) следует, что
Равенство в (10.51) выполняется только при |g(<o) | =const. В этом случае
N((o) =N0 = PJF=const и максимальное значение q2min=2E/N0. Таким
образом,' если помеха подстраивается под сигнал, то максимум отношения
сигнал-помеха будет тогда, когда спектр сигнала равномерный.
Выразим <72 через отношение мощностей сигнала и помехи. Поскольку средняя
мощность сигнала на входе фильтра РС=Е/Т, то максимальное значение <72mm
= 2р2Д. Отсюда следует, что отношение сигнал-помеха на выходе фильтра
возрастает по сравнению с отношением сигнал-помеха на его входе в 2В раз.
N И = 1*И1.
(10.48)
у%= -i- J \g(u>)\d<a.
я * п о
(10.49)
(10.50)
200
, Помеха в виде суммы белого шума и узкополосных помех. Сказанное ранее
относилось к случаям, когда либо сигнал подстраивался под помеху, либо
помеха - под сигнал. На практике пред-ставляет интерес оценка отношения
сигнал-помеха для случая, когда помеха равна сумме белого шума со
спектральной плотностью No и узкополосных помех. Будем считать, что
спектры узкополосных помех не перекрывают друг друга. Пусть k-я
узкополосная помеха сосредоточена в полосе частот 2nFh, а ее спектральная
плотность постоянна в этой полосе частот и равна Nh. Обозначим область
частот, где действует белый шум и k-я узкополосная помеха, через Sh, а
где только белый шум - через So.
При таких предположениях из формулы (10.44) получаем
Из выражения (10.54) следует, что отношение сигнал-помеха зависит от
отношения части энергии сигнала, приходящейся на все частотные участки,
где действуют узкополосные помехи, к полной энергии сигнала. Обозначая
суммарную энергию всех узкополосных помех через
Таким образом, чем больше энергия сигнала Е по сравнению с суммарной
энергией помех Е", тем больше отношение сигнал-помеха.
Оценим влияние на величину q множителя Nh/(Nk-\-N0) в формуле (10.53).
Пусть спектральные плотности всех узкополосных помех одинаковы и равны
Nhо. Полагая Nko>No, из (10.53) приближенно получаем, что
Третье слагаемое в (10.57), отсутствующее в (10.56), обусловлено учетом
