Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(8.5), (8.8) в (8.4):
Рош"~=1е~т*оС (8.9)
Для выбора оптимального кода необходимо найти зависимость у от его
параметров. Для этого необходимо найти зависимость Рош от Pv посредством
(8.6), а затем выразить у через Рош, исходя •из соотношения (8.9).
Точного аналитического выражения для обратной функции Pouj(Pv) до
настоящего времени не найдено. Можно показать, что
Pv<^- (8.10)
"о к
Правая часть неравенства (8.10)-монотонно возрастающая функция от Рош.
Для значений Рош таких, что 1 ш
Рош<(МРлУ+1 (8.П)
170
эквивалентная вероятность ошибки на v-ичный информационный символ ,не
превышает заданной Pv.
¦Прологарифмировав обе части равенства (8.9), получим
Y-tV1"-1-. (8.12)
КО ^ * ош
Выражения (8.11) и (8.12) в явном виде показывают взаимосвязь между у и
.параметрами иода при фиксированных числе ШПС и вероятности Pv. Параметры
k, г, К, р, для разделимых кодов однозначно выражаются через скорость
кода С, следовательно, (8.12) .можно рассматривать "ак функцию скорости
кода. Очевидно, с возрастанием С корректирующие свойства кода ухудшаются
и Рош убывают. При этом второй сомножитель в правой части (8.12)
логарифмически возрастает с ростом С, а первый сомножитель равенства с
ростом С убывает по закону гиперболы. Отсюда можно предположить, что при
низких скоростях кодов у принимает большие значения и оптимальными будут
высокоскоростные коды. В общем случае зависимость у от С имеет сложный
характер.
8.4. Оптимальные коды Рида - Соломона
Из (8.8) для у следует, что выбор v не является принципиальным в
рассматриваемой постановке задачи, поэтому полагаем v = 2. В этом случае
символы кодовой последовательности принимают значения из .поля GF(2h").
По определению, длина РС-кода над полем GF(2h°) [14, 50]
n = 2*°-1 = т- 1 (8.13)
и выбор объема алфавита ШПС однозначно задает длину кода. Подставляя
(8.13) в (8Л2), получаем
У ~-rVln2lT-- (8Л4>
КО ? Г ош
Вычислив значения Рош, при которых эквивалентная вероятность ошибки ,на
двоичный информационный символ не превышает значения Р2=10-4, по точной
формуле (8.6); подставив его в
(8.14), находим зависимости у от С для всех PC-кодов длиной п - 7, 16, 31
и некоторых PC-кодов длиной п=63. Значения у при Р=10-4 рассчитанных
кодов представлены в табл. 8.1 и на рис. 8.3. Из кривых на рисунке видно,
что для всех п существует оптимальный код, позволяющий реализовать
минимальную полосу частот приемника при заданных скорости передачи
информации W и отношении р2 на его входе. Оптимальные коды являются
высокоскоростными. При скоростях кодов С^0,5 зависимость у от С слабо
выражена, поэтому можно воспользоваться любым кодом, если увеличение у,
которое в этом случае незначительно, не играет существенной роли. При
низкоскоростных кодах С<0,5 параметр у резко возрастает, поскольку
.возрастает избыточность кода.
171
Таблица 8.1. Параметры корректирующих кодов и ШПС
<
X 1 е о X
В О
а; И § И О о И g п о й § *- дЙ И О " О и о
И О о О К
кГ О i Р" о ? с с o' с"
o' О X
& ?
?•
3 (7,5,1) 2,837 3,301 0,859 1 (31,11,10) 2,596
1, 150 1,680
(7,3,2) 3,702 1,121 1,305 (31,9,11) 3,089
1,368 1,999
(7,1,3) 9,910 3,002 3,493 (31,7,12) 3,853
1,597 2,494
4 (15.13.1) (15.11.2) (15,9,3) 2,002 1,976 2,138 2,649 0,756 0,746
0,807 1,013 1 1,082 (31.5.13) (31.3.14) (31.1.15)
5,248 8,702 25,979 2,324 3,854 11,505 3,397 5,632
16,815
(15.7.4) (15.5.5) (15.3.6) (15.1.7) 2,504 3,253 5,128 14,929
0,945 1,228 1,936 5,636 1,267 1,646 2,595 7,555
6 (63.61.1) (63.59.2) (63.57.3) (63.55.4) 1,516 1,410 1,363
1,338 1,997 0,759 0,706 0,683 0,670 1,139 1,059 1,024 1,005
5 (31,29,1) 1,676 2,258 0,742 1,085 (63,53,5) 1,331
0,666 1
(31,27,2) 1,568 0,694 1,015 (63,51,6) 1,335
0,669 1,003
(31,25,3) 1,545 0,684 1 (63,49,7) 1,349
0,676 1,014
(31,23,4) 1,563 0,692 1,012 (63,47,8) 1,371
0,687 1,030
(31,21,5) 1,616 0,716 1,046 (63,45,9) 1,394
0,698 1,047
(31,19,6) 1,719 0,761 1,113 (63,43,10) 1,428
0,715 1,073
(31,17,7) 1,849 0,819 1,197 (63,31,16) 1,789
0,856 1,344
(31,15,8) 2,027 0,898 1,312 (63,15,24) 3,385
1,695 2,543
(31,13,9) 2,262 1,002 1,464 (63,1,31)
48,522 24,297 36,455
Чтобы показать, что применение корректирующего кодирования дает выигрыш
,в полосе частот, сравним рассматриваемую систему связи с аналогичной
системой без кодирования. В случае системы связи без кодирования каждый
m-дачный символ непосредственно модулируется ортогональным ШПС и
передается по каналу связи. Из (8.7)
V" - In-(8.15) ko 4Р2
Рис. 8.4. Зависимость эффективности корректирующих кодов от числа ШПС
Значения у=ут код, рассчитанные по (8.15) для Рг= 10~4, также даны в
таблице. Зависимость у от (числа ШПС) представлена на рис. 8.4, кривой 2;
кривая 1 -зависимость, в которой применены оптимальные коды (7, 5, 1),
(15, 11, 2), (31, 25, 3), (63, 53, 5). Как видим, применение оптимальных
