Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
т = 44 = 43 + 1 /71=48 = 22.(11 +1) т = 52 = 2 (52+ 1) /71 = 56 = 2 (З3 +
1) т = 60 = 59+ 1 771 = 64 = 2е т = 68 = 67+1
т = 72 = 22 (17+ 1) т = 76= 2 (37+ 1)
/71 = 80 = 22(19 + 1) т = 84 = 83 + 1 т=88 = 2 (43+ 1) т = 92
т= 96 = 23 (11 + 1) /71= 100 = 2 (72+ 1) 771= 104=22(52+ 1) т= 108= 107+1
/71= 112= 22 (33+ 1) т = 116
/71= 120=2(59+ 1) от=124 = 2(61 + 1)
/77= 128 =27
771= 132= 131 + 1 т = 136 = 22 (33+ 1)
т = 140=139+1 т= 144= 2s (17 + 1) т = 148=2 (73 + 1) /77= 152 =22 (37+ 1)
777 = 156
777= 160=23 (19+ 1) 777 = 164 = 163+1 777 = 168= 2 (83+ 1) 777 = 172
/77= 176=22^(43+1) 777= 180=2(89+ 1) 777 = 184 777 = 188
777 = 192 = 24 (11 + 1) 777 = 196 = 2(97+ 1) 777 = 200 = 22(72+ 1)
Ндгф Нм =
ЬцНм И.12Нм ••• hifjHM
h21 Н т h22 Нм
h2N Нм
hm Нм h-K2 Нм ... IinnHm
(4.32)
где hjh - элементы матрицы #ту. В (4.32) каждый элемент умножается на все
элементы матрицы Нм по правилу умножения матрицы на скаляр. Порядок
матрицы HN(r)HM равен произведению NM. Из (4.32) следует, что матрица
H2n = Н2фНдг .
(4.33)
Формула (4.33) соответствует символическому равенству (4.27).
В качестве кодовых последовательностей системы Уолша можно брать строки
или столбцы матрицы Адамара. Число кодовых последовательностей равно
порядку матрицы N. Следовательно, объем системы Уолша равен N. Обозначать
системы Уолша будем следующим образом: например, У-8, где цифра равна
объему.
Обозначим /-ю кодовую последовательность Уолша как {Wj}\ а ее n-й символ
через Wj(n). Уравнение (4.31) определяет ортогональность кодовых
последовательностей Уолша, т. е. выполняется равенство
2^(#"(")=|
п=0 1
о
N
при
при
/ ^ ky
j = k.
(4.34)
Для символов последовательностей Уолша используется следующее
мультипликативно-двоичное представление:
102
Wj (")=(-!)
5b(m) Ш
•n=0 1 J
(4.35)
где
S = log2/V-1, (4.36)
[x]-целая часть x, aj(m)-двоичное представление номера последовательности
/. В формуле (4.35) /=0, N-1, n=0, N-1. Рассмотрим пример. Пусть N=8 для
матрицы Адамара (4.30). В табл. 4.3 приведены формулы для определения
показателя степени Wj{n) при /=const и сами последовательности.
Таблица 4.3. Мультипликативно-двоичное представление последовательностей
Уолша
J т Показатель степени п
0 1 2 0 1 | 2 1 3 1 4 Б
6 7
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 и 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 -1
2 0 1 0 [п/2] 1 1 - 1 - 1 1 1 -1 - 1
3 1 1 0 п + [п/2] 1 - 1 - 1 1 1 - 1 -1
1
4 0 0 1 [п/4] 1 1 1 1 -1 - 1 -1 -1
5 1 0 1 п + [п/4] 1 1 - 1 - 1 - 1
1
6 0 1 1 [п/2] + [п/4] 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1
1 1
7 1 1 1 п-f- [п/2] + [п/4] 1 - 1 - 1 1 - 1
1 1 -1
В первом столбце табл. 4.3 приведены номера последовательностей j в
десятичном счислении, а в трех последующих столбцах - в двоичном
счислении. Номера двоичных символов т расположены в порядке возрастания
разрядов слева направо так же, как и в сумме показателя степени в (4.35).
В пятом столбце приведены формулы для нахождения показателя степени,
который равен сумме слагаемых вида [п/2т].
Напомним определение целой части [лс]: если x=q-\-r, где q - целое число,
O^r^l, то [x]=q. Число слагаемых в сумме равно
103
числу единиц в двоичном представлении числа /. Для /'=0 вся сумма равна
0, для /= 1 сумма равна первому слагаемому [п/2°] = = [п]=п, для /=2
сумма равна второму слагаемому [п/21] = [п/2] и т. д. Вычисляя показатель
степени для каждого п и возводя -1 в получаемую степень, получаем все
символы Wj(n), которые приведены в последующих столбцах табл. 4.3.
Сравнивая полученные кодовые последовательности (строки табл. 4.3,
состоящие из 1 и -1) с кодовыми последовательностями матрицы (4.30),
замечаем, что они идентичны.
Система Уолша является группой. Доказательство следует из представления
(4.35). Произведение
J
а
2 laj (m)+°* (m)l Ш
Wj (n)Wh(n) =(- i)m=0 . (4.37)'
Сумма a,j(m)-\-ak(m) =a.i(m), где (аг(т)} - некоторая последовательность,
принадлежащая тому же полному коду с Af=const, что и последовательности
{аДпг)} и {аь(иг)}. Следовательно, произведение Wj(n) Wh(n) = Wi(ti)
является последовательностью Уолша. Для примера в табл. 4.4 приведена
таблица умножения для системы Уолша У-8.
В табл. 4.4 / и k - номера последовательностей Уолша, упорядоченных в
соответствии с табл.
4.3. Произведение двух последовательностей Уолша дает новую
последовательность Уолша. Например, если /=6, k=5, то в результате
умножения получается последовательность с номером 3.
Из табл. 4.4 следует, что нейтральным элементом является
последовательность с номером / = 0,
Таблица 4.4. Групповые свойства системы Уолша
1 п
t
5 J
Последовательность Уолша при k
1 0 1 2 1 3 4 1 5 1 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
I 1 0 3 2 5 4 7 в
2 2 3 0 1 6 7 4 5
3 3 2 1 0 7 6 5 4
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 4 7 6 1 0 3 2
6 6 7 4 5 2 3 0 1
7 7 6 5 4 3 2 1 0
¦- t п
t
u • t
Рис. 4.3. Система Уолша
104
состоящая из одних единиц, а обратными элементами являются сами элементы.
Так как система Уолша является подклассом полного двоичного кода объемом
