Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
можно представить в символическом виде следующим образом:
0 1 ... р-1
К
К
(4.7)
Здесь верхняя строка содержит столько символов 0,1 и р-1, сколько
содержится столбцов в матрице прк. Из приведенных примеров (4.6) и
символической записи (4.7) видно, что каждая строка матрицы лрк содержит
целое число периодов. Число периодов я-й строки равно pn-\ n=l,N. Длина
периода равна Qn=pN~n+1. Рассмотрим суммы вида
S (я, k) = V а}п (c)ajh, (4.8)
i=o
где (c) - знак операции в группе. Ортогональность полного кода заключается
в том, что имеет место равенство:
при я k,
[L при n-k.
96
S(n, k)
-с
(4.9)
Из периодичности строк матрицы npN (4.5) следует, что
s(n)=2aJn=о-
/-О
Среднее значение произведения любого числа несовпадающих строк матрицы
(4.5)
Т-1
S(n, k, ..., и)= J ain(r)ajh(r)...(r)aju = 0.
/=о
ВКФ ФМ сигналов с номерами j и k согласно (3.22) определяется следующим
образом:
Яд.(и)=(1/А0 2 ajnak.п-ц• (4.10)
гс=ц+1
В полном коде групповыми свойствами обладают и ВКФ (4.10) при j,k=0, L-1,
поскольку ajna*k, п-ц ^а(tm). является элементом алфавита, где т является
одним из значений 0, р-1 и некоторой функцией от /, k, п, р, т. е. т =
ф(/, k, п, р). Подставляя От в (4.10) и отбрасывая индексы /, k, п, р,
получаем
R = (l/N)fiam. (4.11)
т
В (4.11) суммирование производится по всем т, число слагаемых равно п,
причем 0^"^М. Последовательность Ат={ат}, состоящая из п символов,
является одной из последовательностей полного кода объема pN. Поэтому
сумма
(4.12)
т
является одной из возможных сумм полного кода. Сумма W (4.12) называется
весом кодовой последовательности. Число всех весов W равно pN, но число
разных весов будет гораздо меньше. Поскольку вес (4.12) и значение КФ
(4.11) связаны соотношением
R - W/N, (4.13)
то знание распределения весов полного кода позволяет определить
статистические характеристики КФ. Максимальное число различных весов
равно CNк+р-и где Стп - биномиальный коэффициент.
Определим н-й начальный момент периодической КФ (ПКФ) Rjh'.
, L-1 L-1 H"+W-l
га"=тЬгЗ 3 3 "ЫА И'14"
A L /=0 ft=0 ц=ц0
где L-pN - объем полного кода; суммы по j и k с множителями 1/L означают
усреднение периодических КФ по всем последовательностям полного кода, а
сумма по р с множителем 1/N означает усреднение по сдвигам.
4-111 97 Г
Заменяя в (4.14) КФ на вес согласно формуле (4.13), получаем
j L-1 L-1 Ho-bN-1
~ ~ 2 №/*((*). (4.15)
Nn+lL2fdо /?о
Доказано, что среднее значение ПКФ mi = 0, а дисперсия
а2= 1/N. (4.16)
Для апериодических КФ среднее значение т[=0, а дисперсия
o2= 1/2N. (4.17)
Полный код с основанием манипуляции р=2 называется полным двоичным кодом.
Хотя он является частным случаем полного произвольного кода с р>2, полный
двоичный код имеет большое значение по следующим причинам. Во-первых,
многие применяемые системы сигналов являются двоичными - они позволяют
широко использовать цифровую технику для формирования и обработки. Во-
вторых, для полного двоичного кода получены некоторые дополнительные
результаты, которые для р>2 в настоящее время не известны.
Положим, что двоичный алфавит является мультипликативной двоичной
группой, т. е. состоит из символов 1 и -1. Поэтому
символы ajn кодовых последовательностей равны 1 или -1.
Периоди-
ческая КФ содержит постоянное число слагаемых в своей сумме. Пусть оно
равно N. Произведение а,этаьц при любых /, k, п, р равно или 1, или -1.
Вес кодовой последовательности (4.12) в таком случае равен разности между
суммой 1 и суммой -1. Пусть число 1 в сумме (4.12) равно Q, а число -1
равно N-Q, так как всего слагаемых в (4.12) N. В результате вес
W = 2Q-N, (4.18)
причем Q~0,N. Если Q = 0, то W=-N, если Q=N, то W=N. Шаг изменения веса
равен 2. В соответствии с (4.13) КФ, если она содержит N слагаемых,
выражается следующим образом:
R=*W/N=(2Q-N)/N. (4.19);
Число кодовых последовательностей, имеющих данный вес, т. е. заданное
число 1, находится как число сочетаний из N элементов по Q и равно CQN.
Из (4.18)
CQ /-'0,5 (W+W)
N- иN
Общее число кодовых последовательностей равно 2N. Вероятность появления
кодовой последовательности с данным весом, т. е. с заданным значением КФ,
р (W) = С^5 (Л/+Г) 2~N. (4.20)
Распределение (4.20) является биномиальным. Следует учитывать только, что
вес изменяется с шагом, равным 2. Так как КФ и вес связаны соотношением
(4.19), то распределение (4.20) однозначно определяет распределение КФ.
98
Так как дисперсия ПКФ равна 1/N, то биномиальное распределение можно
аппроксимировать нормальным
ю (ft) = ]/A72jt ехр (-NR2/ 2). (4.21)
Соответственно для апериодических КФ приближенно можно пользоваться
нормальным распределением с дисперсией (4.17).
На рис. 4.1,а вертикальными линиями показано распределение вероятностей
p(W) для апериодических КФ. На рис. 4.1,6 вертикальными линиями
представлено распределение весов в более крупном масштабе. Кривые рис.
4.1,а и б изображают нормальный закон распределения
-W2/N
(4.22)
с дисперсией a2w = A72. Такая дисперсия веса кодовой последовательности
