Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность (3.121) можно записать в виде многочлена
i4(D) = a0-fa1D-[------+апП"-1--------+ aNDN, (3.122)
каждое слагаемое которого действует на своем временном интервале.
Представление последовательности (3.121) в виде многочлена (3.122)
позволяет рассматривать D как независимую переменную и использовать для
решения задач синтеза сигналов свойства многочленов.
Импульсная характеристика согласованного фильтра описывается многочленом
A-1 (D) = aN + aN_lD+ .. +ап DN~n + ... + о* DN.
Для того, чтобы определить АКФ, необходимо ввести многочлен В (D) = A~~l
(D) Dn.
Можно показать, что имеет место соотношение
N
A (D) В (D) =r (М-|- 1) 2- ЯМО"*,
ц=-' N
где АКФ
1 N____________________________________________________________
Г В при р = 0, N,
I 1 п=ц
а Я(-р.)=Я(р).
Идеальной является такая автокорреляционная функция, для которой Жр)=0
ПРИ всех Р> кроме р = 0 (основной пик) и р±N (два крайних боковых пика).
Обозначая N
?=2 <3-126) п=0
86
(3.123)
(3.124)
(3.125)
получаем произведение многочленов A (D) В (D) =aBaND ^ -j- Е -J- а0 D <
(3.127)
соответствующее идеальной АКФ.
Известно интересное представление (3.127) в виде произведения двух
многочленов, которые в принятых обозначениях записываются как
A(D)B(D)= -(DN - pN)(l-D~Np-N) (3.128)
или
A (D) В (D) = (Dn + pN) (l +D~n p~N)- (3-129)
Перемножая правые части (3.128) или (ЗЛ29), можно убедиться в их
совпадении с правой частью (3.127), если положить, что |aoaw| = l, a
?=pw+р-^. Синтез сигнала сводится к определению корней di многочленов DN-
pN н 1-D~Nр~к или DN+pN и l+Z?-wp~w:
di=p exp(i2nl/N) и di=p_1exp(-i2nl/N), 1=1, N .
"
Корни di и dt являются комплексно-сопряженными. Графически их можно
отобразить на комплексной плоскости (рис. 3.30, 1V=13). Корни di
расположены на окружности радиуса р, а номер I определяет угловое
положение корня, поскольку окружность делится на N одинаковых секторов.
Рис. 3.30. Корни много- Рис. 3.31. Случайное
членов задержки, N=3 распределение корней
В свою очередь корни di расположены на окружности радиуса р-1. Из всех 2N
корней половина принадлежит многочлену A (D) (черные точки на рис. 3.30).
Часть из них расположена на внешней окружности, часть - на внутренней.
Каждый сопряженный корень расположен на другой окружности и принадлежит
многочлену B(D) (светлые точки на рис. 3.30).
Синтез сигнала сводится к нахождению радиуса р и распределению всех 2Д'
корней между многочленами A (D) и B(D). Как р, так и 2N определяют
временную структуру сигнала. Например, если р = 1, то корни полиномов A
(D) и B(D) совпадают, так как располагаются на одной окружности. Поэтому
A(D)=DN-1, т. е. сигнал будет состоять из двух импульсов, расположенных
на его краях. При очень большом р вся энергия сигнала сосредоточивается в
одном импульсе.
В настоящее время аналитический метод определения р и распределения
корней еще не найден. С помощью ЭВМ было промоделировано случайное
распределение корней на окружности. На рис. 3.31 приведено распределение
кор-
87
ней одного из многочленов при N = 100. На рис. 3.32,а представлен сигнал,
которому соответствует полученное распределение корней (рис. 3.31), а на
рис. 3.32,6 - его АКФ. Подавление боковых пиков на краях АКФ равно 25,64.
Переход от АФМ к ФМ сигналам. Если произвести двоичное квантование по
уровню АФМ сигнала (3.117), т. е. получить алг= + 1 или -1, то АКФ
полученного ФМ сигнала будет обладать большими, ио все же достаточно
малыми боковыми пиками.
Рис. 3.32 АФМ сигнал с трехимпуль- Рис. 3.33. АФМ сигнал (я), ФМ сной АКФ
сигнал (б), АКФ ФМ сигнала (в)
На рис. 3.33,0 изображен АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром при
N=37, рассчитанный по формулам (3.117). Максимальный боковой пик его АКФ
равен 1,5%. На рис. 3.33 представлен соответствующий ему ФМ сигнал,
полученный согласно двоичному квантованию, АКФ которого приведена иа рис.
3.33,е. Максимальный боковой пик такой АКФ равен 5/37= 0,135, что
несколько меньше ¦1/'|/7\7=-1/'|/^37. Таким образом, при переходе от АФМ
сигнала к ФМ боковые пики АКФ увеличились примерно на порядок, но все же
остались малыми.
Можно показать, что среднеквадратическое значение боковых пиков АКФ
•таких ФМ сигналов при оптимальном выборе их параметров
oR = V8 (1 - 2 ^/2 /я)/A' =0,913/VFw 1/1/А. (3.130)
Оценка (3.130) показывает, что подобные ФМ сигналы можно отнести к •
оптимальным (или минимаксным) ФМ сигналам.
3.10. Минимаксные ФМ сигналы
Такие ФМ сигналы, у которых максимальные боковые пики АКФ минимальны,
были получены некоторыми исследователями [24... 30]. В табл. 3.21 [30]
приведены краткие сведения о минимаксных ФМ сигналах, полученных как на
основе символов Ле-
88
N
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
36
37
40
41
42
43
45
46
47
52
53
55
58
59
60
61
63
66
67
70
71
72
73
П
30
28
28
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
