Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
73
{ajaj = (cn|-gJ =
{an } - 1 > I.
1.
При k=2
{an}=~\, 1, 1, -1, {aj = 1, 1,-1, 1
и т. д.
Корреляционные свойства дополнительных последовательностей при N=2h.
Рассмотрим два сигнала с комплексными огибающими U{(t) и U2(t)
длительностью Т и энергией Е. Образуем композиции, аналогичные (3.70):
v3 (0 = ux (it) + U2 (t), H4 (t) = Ux (;t)-U2 (t). (3.71)
Функции .неопределенности (ФН) сигналов (3.71) .в. соответствии с (2.21)
Rj (т, Q) = (т, Q,) -'г R2 (т, Q) exp (i Q Т) ± R12 (т + Т, Q) ±
± ^2i (х-Т, Q) exp (i Q Т), (3.72)'
где /=3 или 4, знак "+" соответствует j = 3, знак "-" соответствует /=4;
ФН Ri (т, Q), /?г(т, Q) определяются согласно (2.21), а ВФН Riz(т, Q),
R2i(т, Q) - согласно (2.18);
R3 (т, Q) + У?4 (т, Q) = 2 [/?4 (г, Q) + R2 (т, f2) exp (i Q Т)\.
(3.73)
Как видно, ВФН R\2 и R21 не вошли в (3.73). Это приводит к следующему.
Поскольку длительности сигналов U\{t) и U2(t) равны Т, то их ФН [/?i (т,
П) и ДДт, О) ] отличны от нуля только в пределах полосы (-Т^.хСТ, -
оо<;П<оо). в то же время сигналы (3.71) имеют длительность 2Т, и их ФН
(3.73) отличны от нуля в пределах полосы (-27'^т=?Г27\ -oo<;Q<;°°).
Следовательно, суммирование корреляционных функций 7?3(т, Q) иД4(т, П)
приводит к полному подавлению боковых пиков в полосах (-27^ -Т, -
oo<Q<;oo) и (Т^.т^2Т, -оо < Q -< оо). Это
свойство сигналов (3.71) имеет общий характер.
Действительно, используя последовательно правило присоединения (3.71),
получим сигналы длительностью 2h+17' вида
Uzh+3 (0 = Uih+l (t) + ^2h+Z {t T),
U2k+i (t)=U2h+1 (t)-U2h+2 (t - 2k T). (3.74)
При k=0 получаем исходные сигналы (3.71). Можно показать, что модуль
суммы ФН сигналов (3.74)
IRzk+s (х, Q)+ R2h+l (т, Q)| "2*+2
Ri (х, П) П cos Q Т 2У~Х
v=0
(3.75)
Следовательно, при произвольном k тело неопределенности (3.75) суммы двух
ФН совпадает в основном с корреляционной
74
функцией R(т, Q) исходного сигнала, но с изменением масштаба оси частот Q
в соответствии с длительностью сигналов (3.74). Если тело
неопределенности исходного сигнала имеет центральный пик и малые боковые
пики, то и тело неопределенности (3.75) будет иметь центральный пик не
шире исходного и малые боковые пики.
Спектральные свойства дополнительных последовательностей при N - 2h. Если
спектр комплексной огибающей U\{t)
G1 (со) = [ux (t) dt, (3.76)
о
то спектры комплексных огибающих (3.71) при условии Ui(t) - = U2(t)
равны, т. е.
G3 (со) = Gx (со) [ 1 + ехр (- i со 7")] =2Gi(co) cos exp [ - i со
Т/2],
(3.77)
G4 (со) =Gx (со) [ 1 - exp (- i со 7)] =* 2 Gx (со) sin exp (i (со 7/2 +
л/2)].
(3.78);
Модули выражений (3.77) и (3.78) отличаются гармоническими множителями.
Следовательно, нули этих спектров будут чередоваться. При этом, конечно,
не учитываются нули исходного спектра Gi(co). Причем имеет место
соотношение
IG3 (со) 12 + | С4 (со) |2 = 4 | Gx (со) |2, (3.79)
т. е. спектры как бы дополняют друг друга. С увеличением номеров сигналов
характер спектров становится более сложным, но и свойство
"дополнительности" (3.79) сохраняется. Если G2ft+i(co) и Сгй+г(со)-
спектры комплексных огибающих U2h+i{t) и U2h+2(t) аналогично (3.76), то
IG2k+3 (ы)12+ IG2k+4 (со)|2 = 2 [ | G2k+\ (со)12 + IG2/0+2 (w)12].
(3.80)
Соотношение (3.80) аналогично (3.79).
3.7. Последовательности максимальной вероятности1
ПМВ обладают статистическими характеристиками корреляционных функций,
близкими к характеристикам М-последовательностей, число их может быть
большим и для них можно предложить регулярное правило формирования.
Сначала обратимся к свойствам случайных последовательностей.
Статистические свойства случайных последовательностей. Известно, что с
ростом числа символов N в последовательности дисперсия боковых пиков АКФ
уменьшается как 1/2/V, а максимальные пики при заданной вероятности
уменьшаются как У(InN)/N.
1 Данный параграф написан по материалам совместной работы с Г. Г.
Моисеевой (00].
75
В результате с ростом N АКФ случайной последовательности стремится к
идеальной в виде дельта-функции.
Известно также, что сигналы, у которых АКФ обладают малыми боковыми
пиками, содержат оптимальное число блоков
Блок - последовательность символов одного знака. Формула
(3.81) справедлива для нечетных N. Для четных N Mo=N/2 или М0 = Л72-|-1.
Доказано, что (3.81) является средним значением числа блоков в
последовательности из N символов. Так как распределение числа блоков
описывается биномиальным законом, то
(3.81) является также и наиболее вероятным значением числа блоков. Блоки
могут быть единичными (состоят из одного символа), двойными (состоят из
двух символов) и т. д. Обозначим число блоков одинаковой длины k через
Ah, причем длина блока равна числу символов в нем. Например, Ai - число
единичных блоков. Для последовательности длины N, состоящей из М блоков,
имеют место два равенства:
где &тах - длина максимального блока.
Считая &шах постоянной величиной, усредняя обе части равенства (3.83),
обозначая среднее значение Ah через Ah, получаем
