Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
3-111
65
В (3.51) сравнения осуществляются по модулю 4 (mod 4). Кодовые
последовательности, у которых ПАКФ имеет точное значение V(p)max =-1,
часто называются минимаксными. К минимаксным последовательностям
относятся и М-последовательности. В табл. 3.14 приведены известные
минимаксные последовательности.
Таблица 3.14. Минимаксные последовательности
Вид последовательности Период Примечания
М-последователь- Т сЧ II 5; к - целое
ности число N - простое число
Последовательно- II & + со 1 - целое
сти Лежандра число N - простое число
Последовательно- N = 4t2 + 27 t - целое
сти Холла число
Последовательно- N = t(t + 2) t, t + 2 -
сти Якоби простые числа
Таблица 3.15. Виды последовательностей
N Вид N Вид N Вид N Вид
3 м 35 J 79 L 143 J
1 М 43 L 83 L 151 L
11 L 47 L 103 L 163 L
15 М 59 L 107 L 167 L
19 L 63 М 127 M,L 179 L
23 L 67 L 131 L 191 L
31 M.L 71 L 139 L 199 L
Следует отметить, что если данному периоду N соответствуют различные по
виду последовательности, то эти последовательности могут совпадать.
Последовательности Холла с Л'=4/2+27 = = 4 (/2+6) +3 совпадают с
последовательностями Лежандра при l=t2+6. Последовательности Якоби в
общем случае характеризуются периодом t(t+l), где значение I может быть
равно 2; 4; 6, но только при * 1=2 эти последовательности минимаксные
(Kmax = -1)- Последовательности Якоби с периодом N=t(t+2) называются
также дважды простыми последовательностями.
Как видно из табл. 3.14, различным N могут соответствовать различные
последовательности. В табл. 3.15 указаны виды последовательностей для N,
изменяющегося от 3 до 200. Через L обозначены последовательности
Лежандра, через / -- последовательности Якоби, М соответствует М-
последовательности.
Последовательности Лежандра. Если ^ есть символ Лежандра (символ п по
отношению к N), то символы последовательности Лежандра определяются как
f 1 при п=0 (modN),
_ 1
I
при пФ0 (mod M).
(3.52)
Отметим, что в теории чисел символы Лежандра вводятся при •рассмотрении
уравнений второй степени:
x2=n(mod N), (3.53)
66
¦причем' общий наибольший делитель (n,N) = 1. Решить уравнение (3.52)
означает найти такое х, при котором (3.52) превращается в тождество.
Сравнение (3.52) имеет решения не при любых значениях п. Значения л, при
которых уравнение (3.52) имеет решения, называются квадратичными
вычетами, а значения л, при которых (3.52) не имеет решений, называются
квадратичными невычетами. Символ Лежандра определяется как
( 1, если л - квадратичный вычет,
, " (3.54)
-1, если л - квадратичный невычет.
Он определен для всех л, не делящихся без остатка на N, причем N -
простое число, большее двух. Если символ Лежандра найден, то становится
известным, имеет ли решение уравнение
(3.52) при данном л. Из (3.52) следует, что если число л представляет
собой квадрат какого-то числа по модулю N, то он является квадратичным
вычетом. Например, для уравнения х2= = 17 (mod 19.) имеем решение 62 =
36= 17 (mod 19), т. е. число 17 - квадратичный вычет. Основные свойства
символов Лежандра сводятся к следующим выражениям:
= 1;
_i_
N
tik... д\ __
N
Л-1
2
л*-1
_2_ N nk2 N
= (- 1) 8
"(v):
TH(-D
- ], если л, k-простые нечетные числа п ]
(ri\jN) = (n/N), если ni = n(mod N).
Отметим, что при H=0(modAf) символ Лежандра не определен.
На рис. 3.22 изображен сигнал Лежандра, построенный согласно
последовательности Лежандра для 7V= 19:
11-1-11111-11-11-1-1-1-111 -1.
Последовательности Лежандра, как и М-последовательности, являются
линейными рекуррентными и описываются линейным
u(t),
1 О
-7
г
Ur '*
Рис. 3.22. Сигнал Лежандра
рекуррентным уравнением вида n = b+(n-1), где b - целое число. Значение
каждого символа последовательности ап получается
путем преобразования п в символ Лежандра ^ , если он опре-
делен. Последовательности Лежандра, как и М-последовательности, являются
минимаксными.
3* 67
Последовательность Якоби. Если символ Якоби
te)-(tXf) <3-55>
где общий наибольший делитель (n,p,k) = 1, а р, q - простые числа, то
последовательность Якоби для p>q определяется как
f(-)
\pq I
ап =
при n^O(modp), n^0(mod<7),
1 при n=0(mod р<7), (3.56)
1 при n=0(modp), пФ0(той q),
- 1 при n^O(modp), n==Q)(mod q).
Раньше было оговорено, что под последовательностями Якоби будут
подразумеваться такие, у которых p = q+2, период равен N, а п изменяется
от 0 до N-1. Так как символ Якоби определяется произведением символов
Лежандра, то вычисление его производится согласно правилам определения
символов Лежандра.
Например, при р=7, q = 5 период N=35, а символы последовательности Якоби
за период чередуются следующим образом: 11-111-1-11-11-11111-111-1-1-11 -
1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -11 -I. Легко убедиться, что найденная
последовательность Якоби является минимаксной. Соответствующий сигнал
изображен на рис. 3.23.
Рис. 3.23. Сигнал Якоби
Последовательности Лежандра и Якоби, а также родственные им исследованы
подробно, но они менее распространены по сравнению с .^-
