Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ №/’ = ?</’, (32.1)
1
М°М'
где (I масса электрона и М = — -.—.— фиктивная масса ядра. Подста-
вим сюда вместо ф функции (31.1). Для того, чтобы вычислить До'*/’, напишем оператор А в полярных координатах
* _ д2 , 2 д 1 Л
Ло“ V ~Рд~Р 7'
§ 32. Ротационные уровни 181
где Л0 известный оператор, зависящий только от 0О и который можно по (6.4) записать в виде
А = -?0 = -(?0ж + ?0у + ?oJ-
Непосредственное вычисление А0ф по (31.1) затруднительно, так как зависимость D и agTn(D) от в и <р очень сложна. Введем поэтому полный момент импульса ? с компонентами
Lx — Lqx + L\x + • • • + Lfx и т. д. и электронный момент импульса 2! с компонентами Lx = Llx Н-------------------------Ь Lfx и т. д.
Lx коммутирует с L'x точно так же Ly с L'y и Lz с L'z. Далее
?0 = ? - ?', откуда
-Ло = 21 = (2- ?')2 = ?2 - 2??' + ?'2. (32.2)
Теперь ?2 ф = К (К + 1 )ф, так как ф относится к представлению Эх и к моменту импульса НК. Оператор 2! относится только к
электронам и имеет тот же вид и порядок, что и операторы Да в (32.1),
Н2
помножен на в тысячи раз меньший коэффициент Поэтому мы его
будем трактовать как небольшой возмущающий член с оператором Таким образом получаем
h2 ( д 2д К(К+1)\ ft2 р'.р,
2ЛД V Рдр+ р* )ф ^Ф+ (32 3)
Наиболее трудный член этой суммы — это член, содержащий ?•?.
182
Глава VI
По (17.8) имеем
Ьхф(т) = iл/(К + т)(К - т + 1 )ф^т ^ + + i у/(К - т) (К + т + 1)ф{т+1\
Ьуф(т) = - ^(к + т)(к ~т + 1)Ф(т~1] + + ^(к — т) (К + т — 1)^(т+1),
= тф(т\
(32.4)
Если мы подставим это в (32.3), то все дифференциальные операторы, зависящие от в\ и (fi, исчезают. Так как совокупность выражений (31.1) и дифференциальное уравнение (32.3) инвариантны относительно вращений, то дифференциальное уравнение (32.3) удовлетворяется тождественно относительно D, если только оно удовлетворяется в частном случае D = 1, q0 = Q. В этом случае имеем
р, qi, ¦¦¦ ,qf) (т = к, к -1,... - к).
Дифференциальное уравнение (32.3) в силу формулы (32.4) связывает между собой функции ф^, относящиеся к различным значениям ш. Поэтому решение (32.3) выражается системой 2К + 1 функ-
/ (т) ции фуя \
Как вытекает из (32.4), член с 2! • ? в (32.3) лежит по порядку величины между небольшим членом с К (К +1) и очень малым членом
с 2! . Если мы сначала пренебрежем обоими малыми членами с 2! • ? и 2! , то остается дифференциальное уравнение, в которое входит только одна из 2К + 1 функций ф^ и которое не зависит от индекса т
2 М
д2
2 д К(К + 1)
п ' о
др Р др
)^-|]EA^ + C7^ = ?;V’. (32.5)
Поэтому мы можем выбрать для т = К, К — 1, ... , —К любые решения (32.5), относящиеся к одному и тому же значению энергии Е
и удовлетворяющие условию = е~гт1фо1\ В частности, можно
/ (т) / (°) / (±Л)
все фд , кроме одного фд или кроме двух фд , принять равными
нулю, как мы это сделали в §31. Найденную таким образом систему
§ 32. Ротационные уровни 183
решений (32.5) обозначим через ф^т\ так как мы хотим положить ее в основу точного решения (32.3) в качестве первого приближения.
Прибавление к (32.5) очень маленького члена ^ почти не меняет собственных функций, но вызывает незначительное смещение термов. Из трех членов выражения 2! = V2 + V2 + V2 легче всего вы-
т1 I (m) I (т) г/2 / (га) о / (т)
числить третии, а именно Lz^q ' = шфд , откуда Lz грд ' = тАфд Мы сохраним этот третий член, но пренебрежем двумя остальными, несмотря на то, что все три члена, понятно, величины одного порядка. В качестве второго возмущающего члена мы рассмотрим член с 2' • 2 в (32.3). Таким образом, мы применим оператор возмущения
^ (l'z2 -2?'.?) = ?j {l'z2 - 2 (L'XLX + L'yLy + L’ZLZ)}
к приближенным собственным функциям ф^ и разложим результат по тем же функциям. Применение операторов Lx или Ly к сис-
,{К) ,{К-1) ,{-К) ,(±Л)
теме щ 1 Фо > • • • Фо ? из кот°рых только щ ' отличаются от нуля по (32.4), дает систему ф(к\ ф(к~г\ ... ф^~к\ в которой отличаются от нуля только
^(±Л±!) .После этого применим еще операторы Lx и Vy, не меняющие верхнего индекса ш, при этом все ф^т\
кроме ф(±А±1\ остаются равными нулю. При разложении полученных функций от m,p, q по функциям ф^ в действительности встречаются только такие функции, которые отличны от нуля при т = =ЬЛ =Ь 1. Они относятся к собственному значению Л' = Л =Ь 1 и поэтому, вообще говоря, к другому значению энергии, чем ф$±А\ Члены с LXLX и LfyLy в операторе возмущения не дают, следовательно, ничего для наших вычислений. Остается член
