Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в = (щу2 - и2Уг)... {piq2 - p29i)(^i^i + r2x2)... (hxx + t2x2). (30.8) Тогда коэффициенты монома
S+M S-M ^-S _ x2________
м ~~ л/IS + M)\(S - M)\
преобразуются в по представлению 25$. Другие столбцы мы находим перестановкой букв от и до t. Из всех выражений, полученных перестановкой, мы сохраняем только систему линейно-независимых выражений. Каждая строка полученного таким образом прямоугольника при перестановке преобразуется согласно представлению А^.
Пример. Для / = 3 в 23-мерном пространстве произведений u\v^wv мы имеем следующие прямоугольники:
S = - • 2 *
VSuiViWi
U\V\W2 + U\V2W\ + U2V\W\ U1V2W2 + U2V1W2 + U2V2W1
V3u2v2w2
§ 30. Чисто спиновые функции и их преобразования
173
S = - • 2 *
(U1V2 ~ U2V1)W1 (U1W2 ~ U2W1)V1
(U1V2 ~ U2V1)W2 (U1W2 ~ U2Wi)vi
Отметим, что спиновые функции являющиеся коэффициен-
тами (30.8), характеризуются тем, что они антисимметричны относительно первых g электронных пар и симметричны относительно остальных f — 2g электронов. В векторной схеме представляют себе, что спины в g парах всегда направлены противоположно, а спины остальных f — 2g электронов направлены в одну сторону. Соответственно этому результирующий спин равен
Из нашего построения представления A's следует, что все матричные элементы этого представления являются рациональными числами. Отсюда следует, что представление A's эквивалентно своему комплексно-сопряженному или контраградиентному представлению Afs (см. § 12). Вследствие этого соотношение (28.2) сводится к
Д5 = Д'5 х 21.
На основе предыдущего материала вычисление характера представления A's&f не представляет трудностей. Достаточно двояко определить след преобразования АР в пространстве *И, где А особое унитарное преобразование вида
Ml = C«i; U2 = С-1и 2
и Р перестановка: один раз, положив в основу «прямоугольный базис» (30.7) и второй раз, положив в основу базис u\vд ... wv. Результат вычисления следующий. Когда перестановка Р букв uv ... распадается на циклические перестановки c*i, а2, ... , букв и когда х'5(Р) представляет собой характер Р в представлении Д^, то имеют место формулы
?xbCP>«“ + C,s-2 + ••• + (-“) = = (<“' +Г“,)«" + С") ...(с* +С”‘),
где суммирование производится по всем S = — g. Умножив обе
части на С'(1 - С2) и положив С2 = z, мы видим, что х'5(Р) является коэффициентом при zg в полиноме
(1 + zai)( 1 + z012) •••(! + zak)( 1 - z).
174
Глава V
Для того чтобы получить отсюда характер представления As, достаточно помножить характеры нечетных перестановок на —1.
Упомянем еще, что применявшийся в этом параграфе метод исследования преобразования произведения и\У^..Ли при перестановках и линейных преобразованиях ряда переменных uv... применим (с некоторыми модификациями) и в том случае, когда речь идет о ряде из п переменных (вместо двух) (Л, /х, ... , v = 1, 2, ... , п). Если мы выберем п ^ /, то в представление 7г перестановочной группы ©/ входит по крайней мере один раз в качестве составной части каждое неприводимое представление (3/. Этим пользуются для представления характера симметричной группы. Дальнейшее развитие этих соображений читатель найдет в оригинальных работах Шура и Вейля1.
1SchurI., Dissertation Berlin, 1901; WeylH., Math. Z., Bd. 23, 271 (1925). Schurl., Sitzungsber., Berlin 1927. S. 58. WeylH., Gruppentheorie und Quantenmechanik, 2. Aufl., Кар. V.
Глава VI Молекулярные спектры1
§ 31. Квантовые числа молекулы
Для получения приближенного представления о возможных энергетических термах молекулы и для решения вопроса о ее устойчивости представим сначала молекулу как систему из двух неподвижных центров к, к' и / электронов с координатами от qi до qf в поле обоих силовых центров. Представим себе ядра к и расположенными на оси Z, на расстоянии (Зр и (З'р от центра тяжести, где
/3= пМ> , /3'= м° -
М° + М'’ м° + мг
М°, М' — массы ядер, р — расстояние между ядрами. Мы получа-ем, таким образом, задачу двух центров, удовлетворяющую группе инверсий относительно оси Z, представления которой уже были определены в § 10 (пример 3). Мы имеем следующие результаты. Собственные функции <р±\ характеризуются аксиальным квантовым числом А, смысл которого заключается в том, что при вращении (0, 0, 7) появляется у функции <р±\ множитель еТгЛ7. В случае А = 0 существует два вида собственных функций и , у которых при отражении sy (у' = —у) появляются множители +1 и —1, и мы пишем соответственно А = 0+ и А = О-. Соответствующие представления (первой
степени) группы инверсий обозначаются через 21^ и 210 . Наоборот, при А > 0 для каждого собственного значения имеются две собственных функции <р\ и (f-A, переходящие друг в друга при отражении sy и подчиняющиеся вместе неприводимому представлению второй степени 21д.
