Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Plater J. С., Phys. Rev, Bd 34, S. 1293 (1929).
См. также: Я. И. Френкель. Волновая механика. Т. II.
170
Глава V
Больше того, можно утверждать, что
все матрицы Т. коммутирующие с матрицами системы ж, являются линейными комбинациями матриц системы 6.
Доказательство.
Преобразование Т дается выражением
ТихУц ...tv — ^2 • • - tv1- (30.2)
Если T коммутирует с преобразованием, получающимся при перестановке букв гг, г?, ... , гу, то коэффициенты сух,»’»,... у и должны переходить в самих себя при перестановках пар индексов. Будем писать один
индекс / вместо пары индексов Л, Л', точно так же m вместо и т. д. Тогда ,п должны быть симметричны относительно всех индексов.
Система 6 состоит из всех преобразований, получающихся из
и'х = ^2 CyXU\>-, v'p = ^2 • • •
f Си С12 \ = / а /3 \ -д =
V С21 С22 J \ -Р а )
Это дает
UxU^ . . . Wv = ^ СухСц'ц • • • Cu'uUx' ^ц' ... Wu',
т. е. преобразование (30.2) с коэффициентами
^А'A,//'//,... ,v'v — С\'\Сц'ц • • • Cv'vi
или короче
= ... сп. (30.3)
Надо доказать, что все симметричные Qm...n являются линейными комбинациями выражений Qm...n из (30.3) или что все линейные уравнения
^ r)lm...nC'lm...n — 0? (30.4)
имеющие место для частного случая Qm...n (30.3), имеют место и для всех симметричных Положим
Си = а = а 1 + Ш2, С\2 — Р — аз + 4?
С21 = а = а\ - ш2, с22 = —0 = — а3 + яа4.
(30.5)
§ 30. Чисто спиновые функции и их преобразования
171
Если имеет место уравнение
(30.6)
то, подставляя в него (30.5), мы получим уравнение, справедливое для всех вещественных ai, аг, аз? «4 с а\ + а\ + а\ + а\ = 1. Вследствие своей однородности это уравнение имеет по-прежнему место и тогда, когда все аи умножаются на один общий множитель Л. Следовательно, уравнение является тождеством относительно ai, a2, аз, а4, и поэтому все его коэффициенты исчезают. Наоборот, из этих коэффициентов можно вычислить коэффициенты (30.6) так, чтобы из (30.5) однозначно определить а/,. Следовательно, коэффициенты в (30.6) тоже исчезают. Таким образом, имеет место уравнение
где Р пробегает все перестановки индексов. Но отсюда следует равенство (30.4) для любой симметричной относительно индексов, что
Система матриц, коммутирующих с 7г, которую мы обозначим через <т, тоже состоит из линейных комбинаций матриц 8. Если подпространство векторного пространства инвариантно относительно <т, то оно инвариантно относительно 8, и наоборот. Если затем оно неприводимо относительно а, то оно неприводимо и относительно 8. Если, наконец, два подпространства эквивалентны относительно а, то они также эквивалентны относительно 8, и наоборот.
Согласно § 13, система 8 находится очень легко. Если привести представление 7г и расположить базисные векторы в прямоугольники
все строки которых одинаково и неприводимо преобразуются группой 7г, тогда столбцы этого прямоугольника при преобразовании 8 преобразуются совершенно произвольно, но одинаковым образом. Отсюда следует также, что столбцы этого прямоугольника определяют эквивалентные представлению 8 неприводимые пространства представлений, причем столбцы различных прямоугольников претерпевают неэквивалентные преобразования. Каждому неприводимому представлению
р
и требовалось доказать.
^11 ••• vln VI, ••• V{n,
(30.7)
172
Глава V
группы перестановок, содержащемуся в 7г, с помощью прямоугольника (30.7) приводится в соответствие определенное неприводимое представление группы U2 или группы вращений Ь. Так как различные неприводимые представления можно различать по их спиновому числу 5, то числа могут одновременно служить для того, чтобы различать неприводимые составные части 7г. Каждому S (при заданном числе электронов /) соответствует совершенно определенное, содержащееся в 7г, неприводимое представление А' перестановочной группы, и различным S соответствуют различные представления. В дальнейшем мы будем обозначать это представление А' через A's. Для S принимаются во
внимание только значения S = ^ — g (g — целое число ^0.
Для того чтобы выписать прямоугольники (30.7) более подробно,
f
мы определим сначала для каждого S = — g такие величины в век-
торном пространстве !>Н, которые преобразуются, согласно группе U2, по представлению Мы можем поступить так же, как в § 18. Вводим контраградиентную пару переменных х2 и образуем из g «скобочных множителей» вида u\v2 — u2v\ и / — 2g «линейных множителей» вида и\Х\ + и2х2 инвариантное выражение
