Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
^ ' Р) + i{[<Bp] ' а)}Г'
Для расщепления важен только второй член в скобках. Так как
е = -?^ и [с-р] - ?,
то расщепляющий член запишется
<24-б>
Теперь имеем
2(?б) = (? + б)2 - ?2 - 62 = Ш2 - ?2 - 62,
2(? • в)ф* = {j(j +1) -1(1 +1) - \ (i + l) }</>* = (к - l)V>%
с к = I + 1 или —как и выше. Непосредственно отсюда можно вычислить расщепление.
Формула (24.6) дает также выражение, применимое для взаимодействия орбитальных моментов импульса и их спинов в задаче многих электронов, если поле, в котором движется электрон, не слишком отклоняется от центрального поля.
§ 25. Задача многих электронов. Мультиплетная структура. Эффект Зеемана
Вернемся к нерелятивистской теории. Состояние системы, состоящей из / электронов, изображается функцией
Ф(Я1, й, •••, qf, (Ti,, <Tf),
где qh — пространственные координаты, — спиновые координаты h-того электрона, определенные по отношению к оси z. Если мы введем в спиновом пространстве первого электрона базисные векторы щ, U2->
§ 25. Задача многих электронов 135
как в §22, точно так же для второго электрона v\, v2 и т. д., то нашу функцию можно записать в виде
VKtfi, •••, q/, 0i, •••, о/) = ^2 i>\n~Aq)u\Vn(25.1)
Л,... ,v
Вместо одной функции ф(с[, а) можно также положить в основу систему функций ф\^...и от одного q.
При пространственных вращениях функции (25.1) преобразуются так, что каждая пара основных векторов, например и\, и2, преобразуется по представлению 01 группы вращении, тогда как ф\ц...„ преоб-
2
разуются как обычные функции координат. Следовательно, произведения и\Уц .. .wv преобразуются по представлению 0i х x---S)i.
22 2
При отражении s, и\, vц остаются инвариантными. Если мы имеем систему собственных функций
фЫ(д), ...,ф(к){0)
бесспинового уравнения Шредингера, принадлежащих собственному значению Е, то к •2? произведений
ф{а)иху^ ¦¦¦wv (25.2)
удовлетворяют уравнению Шредингера с пренебрежением возмущающими спиновыми членами. Чтобы убедиться, что эти (к • 2^)-кратные термы расщепляются при учете спина, исследуем сначала, как они преобразуются при вращении, ф^ могут преобразовываться по (,S-, Р-, D- и т. д. термы см. § 17). Поэтому произведения (25.2) преобразуются по представлению
х01 х 01 х...хЭь (25.3)
2 2 2
Разложив это представление на неприводимые, получаем неприводимые подпространства, которые при последующем спиновом возмущении могут разделяться.
Разложение представления (25.3) целесообразно начинать с произведений множителей
01 х Di = 0о + 0ъ
2 2
01X01X01=01+01+0 1 2-2 2 : 2 • 2 Х2
136
Глава IV
и потом полученный таким образом каждый отдельный терм множить на согласно уравнению
{J = L + S, ... , \L-S\). (25.4)
Поэтому в векторной схеме сначала складывают между собой спины i/i отдельных электронов в равнодействующий спин HS, который
складывается затем с общим орбитальным моментом HL в равнодействующую HJ1, компонента которой в направлении z может принимать значения НМ (М = J, J — 1, ... , — J). L называют азимутальным квантовым числом, S — спиновым числом, J — внутренним числом, М — магнитным числом. Числа S, J — целые для четного числа электронов, в противном случае полуцелые.
Различные термы H)j, получающиеся из произведения (25.4) при разложении на неприводимые представления с учетом спинового возмущения, соединяются в мультиплеты. Если термы с наибольшими J расположены наиболее высоко, то мультиплет называется нормальным, в противном случае обращенным2.
Если L ^ S', то по (25.4) число термов в мультиплете (мультиплет-ность) равно 25+1. Но если L < 5, то мультиплетность «проявляется не полностью», имеется только 2L + 1 термов, в частности, в случае L = О
(5-терм) только один терм (синглет). Все же в случае 5 = i всегда
хЭтот вид связи практически предпочтителен в том случае, когда мультиплет-ное расщепление мало по сравнению с расщеплением термов вследствие взаимодействия электронов, описанного в § 18, п. 2, т. е. когда имеет место случай Рессель-Сандерсовской связи. Если имеют место другие виды связи, например, так называемая (г, j)-CBA3b, при которой взаимодействие между спином и движением по орбите отдельного электрона преобладает над всеми другими взаимодействиями, то сначала орбитальные импульсы Ш отдельных электронов складываются с их спинами по схеме
X 01 = 2) _ 1 + 53 1,
2 1 2
после чего представления отдельных электронов перемножаются между со-
