Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ван-дер Вандер Б.Л. -> "Методы теории групп в квантовой механике" -> 48

Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.

Ван-дер Вандер Б.Л. Методы теории групп в квантовой механике — И.: РХД, 1999. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): metodteoriigrupvkvantovoymehanike1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 85 >> Следующая


= ^сФд.

Инвариантность этой пары уравнений при собственных и несобственных преобразованиях Лоренца была доказана в § 20.

Уже в § 20 было отмечено, что если хотят дополнить представление С2 собственной группы Лоренца до представления полной группы, то необходимо ввести вторую пару компонент Ф17 наряду с Фд« Иначе выражаясь: введение Ф17 необходимо для того, чтобы волновое уравнение было инвариантно не только при собственном преобразовании Лоренца, но и при пространственном отражении. Кроме того, этим введением мы достигаем того, что волновое уравнение (23.8) оказывается

д (f) д

линейным относительно — и принимает форму ( - ——Ь i? ) Ф = 0,

ot \г at J

где Н — линейный самосопряженный оператор. Соответственно этому стационарные состояния также определяются уравнением, имеющим вид уравнения линейной самосопряженной задачи собственных значений = Еф, собственные значения которого поэтому, наверное, вещественны. Все эти аргументы говорят в пользу правильности волнового уравнения Дирака так же, как и вывод тонкой структуры водорода В §24.

Еще непреодоленная трудность заключается в том, что уравнение Дирака (так же, как и релятивистское уравнение Шредингера), кроме положительных значений энергии, обладает и отрицательными порядка —тс2, не имеющими никакого физического смысла. Эта трудность,

1Функция Ф удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, получающемуся из (23.4) при перестановке обоих множителей в левой части. Эта пе-

рестановка соответствует изменению знака первого члена в (23.6).
§ 23. Инвариантность уравнения Дирака

129

кроме того, усиливается тем, что релятивистская функция Ф имеет четыре вместо двух компонент. Это означает, что электрон, кроме степени свободы спина, должен обладать и другими, еще не наблюдавшимися, степенями свободы1.

Во многих исследованиях целесообразно вместо четырех компонент Фа, вводить четыре другие компоненты Фд, Фд при помощи

Точно так же, как Фа, ФЛ соответствуют разложению четырехмерного векторного пространства, связанного с собственной группой Лоренца, на неприводимые подпространства, Фд, Фд соответствуют разложению на неприводимые подпространства, связанные с группой вращении и отражений. Именно при вращении Фд и Фд преобразуются так

же, как ФА и ФА, тогда как при отражении s

Из формулы (23.7) сложением и вычитанием после умножения на с получаем

Это — уравнения, первоначально установленные Дираком. Для стационарных состояний принимаем

Если нас интересуют состояния с положительной энергией, для которых Е лежит вблизи //с2, то множитель Е + еср + //с2 очень велик по сравнению с Е + ер — рс2, так что фа должно быть очень мало по сравнению с ф8. Поэтому можно отождествить ф8 с компонентами функции ф

хСм. об этом: Е. Schroedinger, Berl. Вег. 1931 и V. Fock, Z. f. Physik, Bd. 68, S. 522-534 (1931).

В настоящее время это затруднение блестяще преодолено (см. дополнение 4). (Прим. ред.).

Ф? = ФА + ФА, Фа = ФА - ФА- (А = 1, 2)

(dt + juc2) Ф8 + c(dxax + dytjy + йг<тг)Фа — О,

(dt - fic2)Фа + c(dxcrx + dy<Ty + dzcгг)Фв = 0.

(E + eip — цс2)ф8 = c(dxax + dyav + dzaz)ipa, (E + e(p + nc2)ipa = c(dxax + dyay + dzaz)%j)s.

(23.9)
130

Глава IV

нерелятивистской теории (Паули), тогда как фа до некоторой степени представляют релятивистское возмущение. Дифференциальное уравнение второго порядка для если принять Е = //с2 + Е', имеет вид

-&АГ + {_?¦ _ ev _ -L (?. + evf + i(ap)+

+ ^2l2 + 2x(Sj • 6)}v>8 - 2m((? ¦ 6)Г = 0

(23.10)

фа = (E + ecp + fic ) c(dx<rx + dy(Ty + dzaz)^s.

До сих пор не удалось найти удовлетворительного релятивистского волнового уравнения более, чем для одного электрона. Это объясняется тем, что вследствие инвариантности относительно преобразования Лоренца, кроме 3/ координат / электронов, необходимо ввести в волновое уравнение еще / различных времен; поэтому уравнение не будет обладать желаемой формой

^ А

г dt

Ф + ЯФ = 0.

Решение этих затруднений, возможно, будет дано последовательной квантовой механикой волнового поля1.

§ 24. Электрон в центральном поле по Дираку

По формуле (23.9) дифференциальное уравнение для волновой функции Дирака в электростатическом силовом поле с потенциалом (р(г) имеет вид

(Е + е<р - цсг)ф8 = с(рсг)фа, 1 (Е + еср + цс2)фа = c(pa)^>s J

с

fj д

(per) = Рх<тх + РуСГу + pzcrz; px = j — , и т. д.

Мы ставим себе задачей найти совокупность решений ф (с четырьмя компонентами ф*, ф%, ф%, ф$), преобразующихся по неприводимому

1См.: W. Heisenberg und W. Pauli, Z. f. Physlk, Bd. 56, S. 1 (1929) Bd. 59, S. 168 (1930).
§ 24- Электрон в центральном поле по Дираку 131
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed