Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы преднамеренно дали в § 22 обоснование свойств преобразования волновых функций «вращающегося электрона» независимо от какого-либо частного волнового уравнения. Поэтому эти свойства имеют общий характер и применимы также к случаю многих электронов. Для одноэлектронной задачи Дирак1 нашел уравнение, которое, как и релятивистское уравнение Шредингера, инвариантно относительно преобразования Лоренца, но кроме того, до некоторой степени автоматически дает правильное описание магнитного действия спина (22.8) и электрического спинового возмущения, являющегося причиной дублетного расщепления энергетических уровней в щелочных и водородных атомах.
Как известно, релятивистское уравнение Шредингера имеет вид
(23.1)
где
(23.2)
причем ip обозначает электрический (скалярный) и 21 — магнитный потенциал, т. е.
S) = rot 21
div2l+^ft =0-
Приняв в (23.1)
Ф = e~in 1(pc2+E)tip(x, у, z)
1 Dirac, Р. А. М., Proc. Roy. Soc. (A) Bd. 117, (1928); S. 610, Bd. 118, S. 351 (1928). Darwin. C. G., Ebendort, Bd. 118, S. 654 (1928).
126
Глава IV
и поделив на 2це гП ^с получим
Ш ~(Е + е<р)ф + ^(е2212 ~(Е + е<р)2)ф = 0.
(23.3)
С точностью до последнего члена, так называемой «релятивистской поправки», это уравнение совпадает с бесспиновым уравнением Шредингера, которым мы до сих пор пользовались. К сожалению, уравнение (23.3) не имеет вида задачи собственных значений, так как Е входит в него квадратично. Это обстоятельство связано с тем, что исходное уравнение (23.1) является дифференциальным уравнением второго порядка относительно времени. Это между прочим и заставило Дирака преобразовать уравнение так, чтобы оно свелось к уравнению первого порядка.
Чтобы прийти к уравнению Дирака, заменим сначала функцию Ф в (23.1) по § 22 парой функций (Ф1, Ф2)- Затем попробуем в левой части уравнения разложить на два множителя оператор
с-Ч2 ~dl-d2y- d2z.
Это достигается (с точностью до малых дополнительных членов, к которым мы еще вернемся) при помощи двухрядных матриц <тх, (Ту, crz (§20). Пользуясь легко проверяемыми соотношениями
(Т х — 1, <Т уСГ z — i(T— ЪОхч
(Ту — 1, O'zO'x — Ъ(Ту, O'xO'z — Ъ(Ту,
<Т z — 1, (Тх(Ту — i&zi ® у® х — zi
имеем
c~2d2t -d2x-d2y-d2z = — (с d% dx(jх dy(Ty dztjz')(c dt dx@x dycry dz(7z).
Это разложение справедливо, если все операторы dt, dx, dy, dz коммутируют между собой, что имеет место только в случае постоянных потенциалов 21, (р. В результате разложения получается волновое уравнение
(с-1^ - dx(Tx - dy(Ty - dz(Tz){c~1dt + dxax + dyay + dz(Tz)Ф = А*2с2Ф,
(23.4)
§ 23. Инвариантность уравнения Дирака
127
совпадающее с (23.1) только в случае постоянных потенциалов. Предположим, что это разложенное уравнение правильно. В случае непостоянного потенциала операторы dt, dx, dy, dz не коммутируют между собой, и мы имеем
dydz dzdy
dxdy dydx
dt dx dx dt
dt dn cL» dt —
itaz — azat
he i
ду dz ,
о%,; 021»'
dz дх
021 у d%,:
дх dy
1021* dip
с dt дх
1021 „ dip
с dt dy
1021* dip
с dt dz
) = ?, J ic
(23.5)
Если в (23.4) производить вычисление с помощью этих перестановочных соотношении, то мы получаем следующие дополнительные члены к левой части волнового уравнения (23.1):
^(^Я&Х + &уау + ^zCz)^ ~ + fyyVy +
Если мы хотим ввести соответствующие члены в (23.3), то должны поделить на —2//. Введем теперь вектор спина © с компонентами ^сгж, т^сгу, ^az (ср. (22.7)); при этом дополнительные члены в (23.3) принимают вид
(23.6)
Магнитный дополнительный член совпадает с (22.8), что говорит о правильности разложения на множители (23.4). Электрический дополнительный член дает «спиновое возмущение» термов в отсутствии внешнего магнитного поля.
128
Глава IV
Уравнение (23.4), очевидно, эквивалентно следующей паре уравнений
[\dt + dxcrx + dy(7y + dzcгг)ф = -цсФ (f>df dx(j x dyCTy dzcz)ф — МсФ
(23.7)
где Ф — отличная от Ф функция1 с компонентами Ф1 и Ф2.
Релятивистская инвариантность уравнения (23.7) сразу обнаруживается, если ввести обозначения § 20 и положить i dt = do = — d°, dx = di = d1 и т. д. При этом уравнения принимают вид
ФА = А*сФ^,
, 23.8
