Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(
1 .
cos$/2 — sin$/2 sin$/2 cos$/2
e-V* 0
e“2^ 0
0 e+\itp
0
e
a
a —
(16.6)
и
§ 16. Линейная группа унитарная группа U2
83
этом основании говорят, что группа и2 образует двузначное представление вещественной группы вращений Ь.
Замечание. Однозначность может быть восстановлена, если в векторном пространстве (щ, и2) различие между двумя векторами C\U\ + с2и2 и \c\U\ + Хс2и2у отличающимися множителем X ф О, считается несущественным. Соответственно мы считаем несущественным различие между линейными преобразованиями с матрицами А и X А. Тогда,, в частности, матрицы А и —А, представляющие одно и то же вращение, не считаются существенно различными. Векторы X и, получающиеся из и ф 0 умножением на произвольное А, образуют одномерное подпространство, называемое лучом. При вышеописанном понимании представления, когда принимается во внимание не преобразование векторов, а только лучей и поэтому А и ХА не различаются, говорят
о лучевом представлении (вместо векторного представления). Если в лучевом представлении элемент а группы соответствует матрице А иЪ — В, то произведению АВ соответствует не только АВ, но и ХАВ (с любым Л). Но от лучевого представления можно всегда перейти к конечно-многозначному векторному представлению путем умножения матрицы А на такой множитель X, чтобы ее детерминант равнялся единице. Множитель X определяется с точностью до корня из единицы и выбирается таку чтобы единичному элементу соответствовала единичная матрица. Тогда при непрерывном представлении непрерывной группы можно однозначно определить множитель X в окрестности единицы с помощью непрерывного продолжения; тогда в этой окрестности произведению ab точно соответствует произведение матриц АВ.
Представления 2)j, (J = 0, 1, 1^, •••) являются представлени-
ями U2, но М2 является двузначным представлением Ь; следовательно, 2)j можно рассматривать как максимум двузначное представление Ь; 2)о - тождественное представление; S)i/2 ~ двузначное представление Ъ в 1/2; 2)i - однозначное представление Ь в самом себе.
Ниже будет показано, что представления 2)j с целочисленным J однозначны относительно Ь, представления же с «полуцелым» J двузначны и что шаровые функции I-того порядка (/ — целое) при вращении преобразуются согласно 2)/. Неприводимость 2) j представления М2 или Ь мы также докажем позже.
2)j-представлению и2 соответствует инвариантная эрмитова форма
V
(16.7)
О
84 Глава III
Доказательство.
Коэффициенты сг преобразуются точно так же, как и коэффици-
е„ты специальной формы („л + „лГ, , коэффициент г,
преобразуется как Так как г,о, +S* ост.етсн инвариант-
ным, то также остается инвариантным
v\(aiai + a2d2)v = v\ > | \аЛ ' а"л ' а'0а' =
'i(%rr<~T^cr
г=О ' '
, \ 2
fVy
= ^ rl(v — г)!
а\ гаг2а\ га%
г=0 ^
и это выражение преобразуется как (16.7). ¦
Этим доказано, что все 2) j-представления Щ или Ь унитарны. Векторы
(16.8)
^/rl(v — г)!
образуют нормированную ортогональную систему для формы (16.7). Отметим еще, что при вращений Э7 с углом вращения у вокруг оси 2,
г 7 г 7
при котором по (16.4) щ умножается на е~ 2 , a на е~ 2 9 вектор (16.8)
умножается на e2^v~2r^7. Кроме того, при повороте вокруг оси у на угол 7г, при котором и\ и U2, переходят по (16.4) в — U2 и г^, произведение ul~ru2 переходит в (—l)v~rulu%~r.
§ 17. Бесконечно малые преобразования и представления группы вращения
В области, близкой к единице, оказывается особенно удобным следующее параметрическое представление вращений. Вращение вокруг (направленной) оси а на угол (р (измеряемый в определенном направлении) представляется вектором длины ср в направлении а, а ортогональные компоненты этого вектора c*i, с*2, ol3 служат в качестве параметров вращения. Тогда пространством параметров является шар радиуса 7г, в котором диаметрально противоположные точки поверхности отождествляются. Произведение двух вращений da(ai, с*2, с*з)
§17. Бесконечно малые преобразования 85
и dp((3\, /?2, /?з) является вращением dpda = сЦ, где 7^ = ^(а, /3) аналитическая функция а и /3, однозначная вблизи нулевой точки и однозначно разрешимая относительно /3. При /3 = 0, 7 = 0, причем обе функциональные матрицы
" T;»=(ftU
обратны одна другой
ST = Е.
Требуется определить все (одно- или многозначные) представления группы вращений Ь, при которых каждое вращение da представляется в области, близкой к единице, линейным преобразованием Da, матрица которого непрерывно-дифференцируемо зависит1 от параметров ai, с*2, «3? причем для представлений имеет место соотношение
