Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
24 = I2 + I2 + 22 + п\ + п\
следует: п2 + п2 = 18, т. е. П4 = П5 = 3.
Мы получаем одно из представлений третьей степени, подвергая перестановкам ©4 четыре вектора ei, е2, е3, из которых три первых
74
Глава II
линейно-независимы, тогда как в\ + е2 + ез + = 0. Другое представ-
ление получаем, меняя знак в относящихся к нечетным перестановкам матрицах полученного ранее представления.
Пример 3. (Знакопеременная группа 214). Число элементов 12. Классы (1), (2 3), (1 3 2) и (1 2), (3 4). Существуют, следовательно, четыре представления. Дополнительная группа 2Ц/034 является циклической группой третьего порядка и поэтому имеет три представления первой степени (с корнем третьей степени из 1). Из
12 = I2 + I2 + I2 + п\
следует: = 3. Недостающие представления третьей степени явля-
ются ничем иным, как обоими вышеприведенными представлениями третьей степени ©4, примененными к перестановкам 2Ц. Вышеприведенное представление второй степени ©4, примененное к 2Ц, распадается на два комплексно-сопряженных представления первой степени.
2. Обобщение
Теорема Бернсайда имеет место не только для представлений конечных групп, но и для любой неприводимой системы матриц, содержащей наряду с каждыми двумя матрицами также и их произведение. Кроме того, имеем следующее обобщение, данное Фробениусом и Шуром: полностью приводимая система матриц, содержащая вместе с каждыми двумя матрицами и их произведение и состоящая из неприводимых частей степени п2, ... , ns (причем эквивалентные части считаются за одну), содержит п\ + п\ + • • • + n2s линейно независимых матриц.
Кольцо группы УКg является примером «гиперкомплексной системы чисел», т. е. векторного пространства с конечным числом измерений, которое образует кольцо таким образом, что в нем определено умножение, считаемое некоммутативным, но имеющее все обычные свойства умножения (включая ассоциативный закон). Здесь мы рассматриваем только такие гиперкомплексные системы чисел, в которых областью умножения является область комплексных чисел.
Ясно, что теоремы этого параграфа, которые относятся к представлениям кольца УКё, справедливы не только для колец групп, но и для любой системы гиперкомплексных чисел, являющейся полностью приводимой, т. е. представляется суммами неприводимых левых идеалов и содержит единичный элемент. Поэтому каждая такая система является прямой суммой полных матричных колец и содержит столько же
§ 14. Представления конечной группы
75
неприводимых представлений, сколько имеется в разложении матричных колец. Далее можно доказать, что каждое приводимое представление такого кольца целиком распадается на неприводимые. В частности, одно полное матричное кольцо имеет только одно единственное неприводимое представление, образуемое матрицами самого кольца.
Эта теорема может применяться к квантово-механическим вопросам. Например, следуя Дираку, часто ставят задачу определения системы четырех матриц Ti, Г2, Гз, Г4, удовлетворяющих следующим уравнениям:
Г1 = 1, ГАГД = —ГДГА (А ф ц). (14.6)
Если к Гд присоединить произведения их по две, по три и т. д., то, согласно уравнениям (14.6), все они могут быть выражены через следующие 16 величин
1, ГЛ, ГдГ^, ГдГ^, Г1Г2Г3Г4 (Л, //, v — 1, 2, 3, 4; Л < // < v).
(14.7)
Если же матрицы неизвестны, а еще только ищутся, то мы сначала строим систему гиперкомплексных чисел с 16 базисными элементами
1, 7а, 7Ад, 7А/«/, 71234, (А, ц, V = 1, 2, 3, 4; А < ц < v) (14.8)
и предполагаем, что эти базисные элементы должны перемножаться между собой точно так же, как и матрицы (14.7), т. е. в соответствии с уравнением (14.6). Этим условием система чисел однозначно определяется. Каждая система матриц (14.7) со свойствами (14.6) дает только одно представление гиперкомплексной системы, и обратно. Таким образом, мы свели поставленный вопрос к вопросу об определении гиперкомплексной системы чисел с помощью матриц.
Согласно Дираку1, мы знаем, что представление состоит из четырехрядных матриц, причем базисные элементы (14.8) представляются 16 линейно-независимыми матрицами. Поэтому искомая гипер-комплексная система изоморфна с полным матричным кольцом всех четырехрядных матриц. Согласно предыдущим теоремам, следует, что с точностью до эквивалентности существует только одно неприводимое представление (четвертой степени) и что каждое приводимое представление целиком распадается на неприводимые, которые все эквивалентны упомянутому представлению. Это значит, что дираковское представление с точностью до совершенно тривиальных измерений и эквивалентности является единственным.
xDirac Р. А. М., Proc. Roy. Soc. London A., Bd. 1928. 117. S. 610.
76
Глава II
§ 15. Характеры
Как мы знаем, следы ^ а\\ матриц (с*лд) какого-либо представле-л
ния инварианты. Мы будем обозначать через S(b) или S^(b) след матрицы, соответствующей элементу Ъ группы в представлении 2). Следы матриц неприводимых представлений называются характерами.