Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Каковы левые идеалы кольца
= Jl + J2 + * * * + Jq, (14.3)
где 3\, ... ,3q — матричные кольца?
Введем в 3\ в качестве базисных величин п матрицы С\ц (ср. § 13). Элементы (Сц, (721, • • • , (7ni) определяют левый идеал в 3\, а поэтому также и в то же самое относится к элементам (С12, С22, • • • , (7П2)
и т. д. Это дает п левых идеалов в 3\. Если мы вычислим также
представление к которому приводят эти идеалы, то оказывается, что все величины З2, ••• , 3q представляются нулями, а величины t = X X «Ад(7лд из 3\ во всех п вышеупомянутых представлениях представляются одной и той же матрицей (алд)? т. е. для каждого ?2
в 32
t2CVK = О
или для каждого *i = X X в Зъ
Л д
tlCv>c — ЕЕ \цСи>с — ^ ^ о,\иС\vCvyc — ^ ^ С\kQl\v.
А ц А А
72
Глава II
Отсюда следует, что вышеупомянутые левые идеалы эквивалентны и соответствуют одному и тому же неприводимому представлению. То же самое имеет место для левых идеалов Но они не эквивалентны предыдущим левым идеалам, так как в связанном с ними представлении элементы 3i представлены нулями, что не имело места в ранее рассмотренном представлении. Следовательно, мы получаем ровно столько неэквивалентных представлений, сколько матричных колец, содержится в (14.3).
Если nv — порядок матриц в 3^, то представление А^, образуемое этими матрицами, равным образом имеет порядок пи, причем представление Аи входит nv раз в регулярное представление, так как Зи распадается на nv эквивалентных левых идеалов. Следовательно, каждое неприводимое представление входит в регулярное представление столько раз, сколько единиц содержит его порядок. Число измерении 3^, т. е. число линейно независимых базисных векторов Су^ равно п^, следовательно, число измерений 9\g равно h
h = j2nl- (14-4)
V=1
Из этого равенства вытекает Теорема Бернсайда. Каждое неприводимое представление степени nv содержат п\ нелинейно независимых матриц.
Действительно, среди линейных комбинаций матриц представления Аи встречаются матрицы, представляющие все элементы кольца 9^ и, в частности, кольца 3^, т. е. всевозможные матрицы (а\м) с произвольными а\м.
Мы можем, наконец, выяснить, сколько существует неприводимых представлений рассматриваемой группы. С этой целью определим «центр» кольца 9^, т. е. совокупность таких величин ^7Ss, которые коммутируют со всеми остальными групповыми числами. Для этого достаточно, чтобы они коммутировали со всеми элементами группы, т. е. чтобы
^7 „tst'1 =
Для этого необходимо и достаточно, чтобы в сумме ^7Ss каждое s было связано с таким же коэффициентом, как и каждый «сопряженный с s элемент группы» tst-1. Обозначим через к сумму всех различных сопряженных с s элементов группы tst-1, включая и сам элемент s. Таким образом, каждый элемент центра должен иметь форму
(14.5)
§ 14- Представления конечной группы
73
Центром является, следовательно, векторное пространство, число измерений которого q' равно числу различных классов сопряженных элементов группы.
С другой стороны, центр можно определить также из представления и» в виде суммы (14.3). Величины t = t\ + • • • + tq в 9\g коммутируют со всеми величинами 9^, когда t\ коммутирует со всеми матрицами 3i, т. е. является кратным Aiei единичной матрицы е± в 3\ и когда также t2 = Л2в2, ... , tq = Xqeq. Поэтому центр 9\g определяется совокупностью линейно-независимых величин (ei, ... , eg), так что число его измерений равно q. Таким образом, имеем
я' = 9,
или число неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов группы.
1. Примеры
Пример 1. (Симметричная группа ©3). Число элементов 3! = 6. Классы сопряженных элементов группы: класс (1), класс (1 2), класс (12 3); мы имеем, следовательно, три представления. Они уже известны нам из примера 5 § 10. Их степени 1, 1, 2. Действительно,
6 = I2 + I2 + 22.
Представления первой степени являются симметричным и антисимметричным. Представление второй степени легче всего получить, присоединяя сначала к двум линейно-независимым векторам ei, е2 третий вектор е3 с помощью е3 = —е\ — е2 или е± + е2 + е3 = 0 и подвергая затем эти три вектора перестановкам ©3. Это представление второй степени является, очевидно, точным.
Пример 2. (Симметричная группа ©4). Число элементов 4! = 24. Классы (1), (1 2), (1 2 3), (1 2), (3 4), (1 2 3 4); мы имеем, следовательно, пять представлений. Дополнительная группа ©4/5З4 = ©3 и поэтому, согласно примеру 1, имеем два представления первой степени и одно второй степени. Это дает три неточных представления ©4 (степени 1, 1, 2). Из
