Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 14. Представления конечной группы1
Пусть 0 — конечная группа с h элементами. Выберем положительно определенную эрмитову форму в пространстве какого-либо произвольного представления, применим к ней все преобразования группы и сложим результаты. При этом получается положительно определенная форма, инвариантная относительно рассматриваемой группы. Следовательно, матрицы представления являются унитарными и поэтому представление либо вовсе неприводимо, либо приводимо целиком.
Особое представление получается, если в качестве базисных векторов воспользоваться элементами группы и, следовательно, в качестве векторов все линейные комбинации
(14.1)
S
с комплексными коэффициентами у8. Эти «групповые числа» (14.1) образуют кольцо т. е. их можно не только складывать друг с другом и умножать на обыкновенные числа, но и умножать друг на друга, т. е. можно положить
Е^’Е^ = ЕЕ 7 sStst. (14-2)
S t S t
1 Содержание этого и следующего параграфов не является безусловно необходимым для рассматриваемых в этой книге приложений к квантовой механике, но эти параграфы обязательны для того, кто хочет углубиться в теорию представлений. Эта теория дана Г. Фробениусом, применившим здесь метод доказательства Е. Нетера. Другое простое доказательство см.: I. Schur. Sitzungsber. Berlin. 1905. S. 406.
70
Глава II
Кольцо fHg называется кольцом группы, алгеброй группы или областью группы. Единичный элемент е группы является одновременно единичным элементом кольца. Если помножить элементы кольца на базисный вектор s, то во всех случаях получается линейное преобразование кольца в самого себя, т. е. представление группы 0. Это представление называется регулярным представлением группы 0; оно имеет порядок h.
Инвариантным подпространством регулярного представления является такое подпространство, которое вместе с каждым данным групповым числом а содержит и все sa, где s — произвольный элемент группы. При этом подпространство содержит и все • а, т. е. все са,
s
где с — групповые числа. Такое подпространство называется левым идеалом. На основании вышеизложенного кольцо группы целиком приводимо, а следовательно, оно является прямой суммой неприводимых левых идеалов.
Мы можем доказать теперь следующие теоремы.
Теорема 1. Каждое неприводимое представление группы 0 содержится в регулярном представлении (следовательно, оно эквивалентно представлению, выраженному с помощью неприводимых левых идеалов).
Доказательство.
Заметим, во-первых, что мы можем каждое представление группы 0 заменить «представлением» кольца 9ig, приведя в соответствие элементам кольца ^7Ss матрицы sS, где S — матрица, соответ-
S S
ствующая элементу группы s. Произведению двух элементов кольца соответствует произведение матриц и сумме — сумма матриц. Если теперь v обозначает произвольный вектор пространства представлений Г, то с —У cv дает линейное изображение кольца группы в пространстве представлений. Это изображение является операторным гомоморфизмом (по отношению к 0 как области операторов). Поэтому из (14.1) следует
s • с —У SC • V — S • CV.
Согласно четвертой теореме § 11, пространство X оказывается, таким образом, изоморфным с суммой неприводимых подпространств регулярного представления, следовательно, если X само неприводимо, то изоморфно с одним подобным подпространством, что и требовалось доказать. ¦
Теорема 2. Кольцо fHg является прямой суммой полных матричных колец.
§ 14• Представления конечной группы
71
Доказательство.
Мы попытаемся определить операторные гомоморфизмы кольца я* (или преобразования, коммутирующие с регулярным представлением). Обозначим одно из них через Т и предположим, что Т переводит единичный элемент группы 0 в элемент t. Вследствие коммутирования Т со всеми элементами s группы должно иметь место соотношение
Т csse = cssTе = csst.
S S S
Следовательно, операция Т заключается в том, что все элементы кольца умножаются справа на t. Каждому Т отвечает определенное ?, и обратно. Произведению двух гомоморфизмов TU соответствует обратное произведение ut, так как (для произвольного с в %\g) мы имеем
TU • с = Т • си = cut,
а сумме Т + U соответствует сумма t + и.
Следовательно, кольцо У\ё «обратно изоморфно» кольцу 3 операторного гомоморфизма, т. е. изоморфно с перестановкой множителей в произведениях. По § 13, если 3 — прямая сумма полных матричных колец, то, чтобы получить обратно изоморфное к ней кольцо, достаточно заменить все матрицы транспонированными. При этом опять получаем прямую сумму полных матричных колец. ¦
