Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ван-дер Вандер Б.Л. -> "Методы теории групп в квантовой механике" -> 25

Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.

Ван-дер Вандер Б.Л. Методы теории групп в квантовой механике — И.: РХД, 1999. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): metodteoriigrupvkvantovoymehanike1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 85 >> Следующая


Tv = w = w\ + W2 + W3 + * * * + wr. (13.2)

Соответствие w wi или w —>• w2 является тоже операторным гомоморфизмом, поэтому V —У W —У W\ ИЛИ V —У W —У W2 и т. д. является также операторным гомоморфизмом. По лемме Шура в разложение (13.2) могут входить только такие компоненты, которые относятся к подпространствам ti, ... , t&, эквивалентным ti. Все остальные компоненты должны равняться нулю. Далее, по лемме Шура (вторая часть) соотношения v —>• w\ и т. д. должны представляться кратными единичной матрице. Мы обозначим эти кратные, поскольку речь идет об отображении ti в Га, через т\\Е. Все, что имеет место для ti, естественно,
§ 13. Матрицы, коммутирующие с данным представлением

67

имеет место и для всех остальных Хц : мы имеем отображения т\цЕ пространства Хц в эквивалентном ему Х\.

Построим теперь матрицу Т, отнесенную к базису, составленному из базисов ti, ... , tjfe, tfc+i, ... , Хг. Мы получаем при этом

гцЕ т12Е ••• т1кЕ
0
TkiE Tk2E ••• TkkE
T~k+i,k+iE
0
Полученный результат можно формулировать следующим образом. Напишем последовательно базисные векторы эквивалентных пространств от ti до Xk

Vn, V12, ... , vln (базис ti),

V21, V22, ¦¦¦ , v2n (базис t2),

Vki, Vk2, ••• , Vkn (базис tfc),

при операциях 0 строки этого прямоугольника линейно преобразуются в самих себя, причем все строки одинаковым образом, тогда как ком-мутирующие с ними операторы Т преобразуют столбцы прямоугольников в самих себя, причем тоже одинаковым образом, в остальном совершенно произвольным. Для пространств от t^+i до Хг получаются аналогичные прямоугольники базисных векторов.

Таким образом находятся все матрицы, коммутирующие с полностью приводимой системой. Эти матрицы образуют кольцо 3, т. е. систему величин, содержащую для каждой пары также и их сумму, разность и произведение. Кольцо 3 является «прямой суммой» колец 3i, ... , 3q, составленных из матриц одной из «касс» в (13.3) (с нулями в других кассах), т. е. каждая матрица кольца 3 может быть однозначно представлена суммой матриц колец 3i, ... , 3g, тогда как произведение двух матриц различных колец 3/4 всегда равно нулю. Поэтому пишут

3 = 3i +... + 3qu
68

Глава II

Матрицы кольца 3i складываются и умножаются точно так же, как к-рядные матрицы

Ти Т12

Tkl тк2

Т\к

Ткк

(13.4)

с совершенно произвольными числами тхц в качестве элементов. Кольцо всех этих матриц мы называем полным матричным кольцом степени к. Следовательно, кольцо 3 является прямой суммой полных матричных колец.

Базисные величины полного матричного кольца мы получим, если положим, что все (13.4) равны нулю, кроме одного = 1. Полученные таким образом матрицы (13.4) мы обозначим через С\^. При этом каждая матрица может быть однозначно представлена суммой ^2 СхцТхц. Правила вычисления сводятся к равенствам

С-^хСхц = С к»,

C„xCx'v = 0 (А ф Л').

Полученная теорема позволяет ответить на следующий вопрос. Предположим, что на векторное пространство действуют две коммутирующие между собой группы или вообще две коммутирующие целиком приводимые системы линейных преобразований 0, S). Можно ли разложить системы на неприводимые части так, чтобы в приведенной форме коммутируемость была непосредственно видна?

Сначала разложим систему 0, что приведет к рассмотренным выше прямоугольным системам базисных векторов

vn v12 • • • vln

VklVk2 ••• Vkn-

Согласно вышеизложенным результатам, коммутирующая система Sj должна линейно преобразовывать столбцы каждого прямоугольника в самих себя и притом одинаковым образом. Следовательно, каждый столбец определяет подпространство в *И, инвариантное относительно У), которое должно быть полностью приводимо. Поэтому можно заменить базисные векторы какого-либо столбца их линейными комбинациями так, чтобы после этого столбец распадался на отдельные участки, неприводимо преобразующиеся под действием S). Это видоизменение базисных векторов мы проводим для всех столбцов прямоугольника
§ 14• Представления конечной группы

69

одинаковым образом. Потом таким же образом преобразуем неприводимо строки прямоугольника системы 0 так, что весь прямоугольник разделится горизонтальными линиями на частичные прямоугольники, столбцы которых неприводимо преобразуются системой $).

Таким образом, если даны две целиком приводимые и коммутирующие системы 0, f) линейных преобразований векторного пространства ж, то можно расположить базисные векторы в прямоугольники

Vn * * * VI п Vsl * * * Vsn

так, чтобы в каждом прямоугольнике все строки неприводимо преобразовывались одинаковым образом системой 0 и точно так же все столбцы неприводимо преобразовывались одинаковым образом системой S).
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed