Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 5. (Симметрическая группа ©3). Ее неприводимые представления можно определить совершенно таким же способом, как и представления группы вращений и отражений 0, рассмотренные в примере 3, а именно, исходя из произвольного представления ©3 и осуществляя приведение содержащегося в нем представления знакопеременной группы 21з. Группа 21з циклична и состоит из 3 перестановок 1, (1 2 3), (1 3 2).
Согласно первому примеру, существует только три представления первого порядка тройной циклической группы, при которых элементам 1 соответствует корень третьей степени из единицы
27г г _ 27г г
1 или р = е з или р' = р = е з .
§ 11. Теоремы однозначности
59
Вектор vp, соответствующий корню р при применении перестановки (1 2), дает вектор гу, соответствующий р-1, так как
(1 2 3) v = (12 3) (1 2) vp = (1 2) (1 2 3)~\ =
= (1 2 )p~1vp = p~1vp'.
Векторы vp, образуют пространство неприводимого представления второй степени. В пространстве векторов г>1, остающихся инвариантными при перестановках 1, (1 2 3), (1 3 2), находим, применяя циклическую группу 1, (1 2), еще два представления первой степени, а именно тождественное и антисимметричное. Таким образом, существует совокупность двух представлений первого порядка и одного неприводимого представления второго порядка. Из приведенного доказательства следует, что каждое представление целиком распадается на неприводимые представления трех названных типов. Найденное в примере § 9 представление второй степени должно быть эквивалентно описанному здесь представлению второй степени (гу гу), что легко подтверждается вычислением.
§ 11. Теоремы однозначности
Теорема 1. Если 0 = + • • • + Qh целиком, приводимая аддитивная
группа, a S) любая (дозволенная) подгруппа, то
0 = Й + 0^ Н-----Qjyk
при надлежащем выборе ди. из группы Q.
Доказательство.
Построим
#i = (#> Ai)>
Й2 = (#1, 02)>
Sbh = (S)h-1, 0h) = 0.
Пересечение fj и 01 является инвариантной подгруппой д19 следовательно, оно является либо д19 либо нулем, так как по предположению 01 неприводимо. Если пересечение равно д19 то 01 содержится в fj, откуда Sji = f). Если пересечение равно нулю, то (fj, g1) прямая сумма, и поэтому f) 1 = f) + 01-
60
Глава II
Таким же образом, как и с поступаем и со всеми остальными группами $)и и достигаем того, что все скобки ($)„-1, Qv) либо превращаются в прямые суммы, либо приводятся к члену S)v-\. Из совокупности всех этих уравнений получаем, что 0 = S)h является прямой суммой Sj и некоторых что и требовалось доказать. ¦
Теорема 2. Если
^ = 01 + 02 ------^ Qh
одновременно
® = 01 + 02 ------1" 0Л,
то
0i=0i-
Доказательство.
Из приведенного в § 9 закона изоморфизма следует, что 01 и оба изоморфны с дополнительной группой
^/02 -----1- 0/i«
¦
Теорема 3. Если
^ = 01 + 02 -----1" 0г
и 0 = + + + — два разложения целиком приводимой аддитивной группы на неприводимые, то г = s и Qu, взятые в той или иной
последовательности, изоморфны с 1)^.
Доказательство.
Применяя первую теорему с Sj = \)2 + • • • + получаем
^ = (1)2 -----1" Ь8) + (У,Ву)>
гДе S0i/ — сумма некоторых Qv. Из второй теоремы следует, что ^01/ — bi- Так как f)1 неприводимо, то сумма тоже долж-
на быть неприводимой и поэтому должна состоять из одного члена, а следовательно, (при надлежащей нумерации Qv) из члена Q1. Таким образом, мы имеем g1 = f)1 и
® = -----•" Ь8 + 01*
Применяя опять первую теорему с S) = ()3 +------1- \)8 + 019 получим
§ 12. Преобразования произведений по Кронекеру
61
(сумма ^2' не содержит 0-J, откуда, сравнивая с предыдущим уравнением, получаем по второй теореме — f)2. Следовательно, сумма
опять состоит из одного члена, а именно из 02. Мы имеем 02 — ()2 и
0 = ()3 н----1- i)s + + 02.
Продолжая, получим Qv = t)v {v = 1, 2, ... , s — 1) и
0 = b.+0i + ”- + 0.-i-
Отсюда опять по второй теореме \)s — 0SH----Ь0Г, а следовательно,
так как последняя сумма может состоять только из одного члена, то r = SH0s^[)s. ¦
В частности, из этой теоремы следует, что неприводимые составные части, на которые распадается представление, зависят только от самого этого представления, а не от выбранного разложения векторного пространства на неприводимые подпространства. Поэтому имеет, например, определенный смысл говорить, что в заданном представлении 2) неприводимое представление 2)i содержится три раза, а другое представление И)2 один раз.
