Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Они сводятся к двум геометрическим равенствам:
/? = /?', G = G .
В частности, система сходящихся векторов эквивалентна своей результирующей. В самом деле, в этом случае главный момент равен моменту результирующей (п° 13).
Замечание. — Если дана система векторов S, то из нее можно выделить любую ее часть и заменить ее эквивалентной системой векторов. Таким способом мы заме-
Введение
25
ним полную систему 5 другой эквивалентной системой, так как эта операция не изменяет ни R, ни G.
19. Определение. Система, эквивалентная нулю.—
Система векторов S эквивалентна нулю, если ее главный вектор и главный момент относительно какой-нибудь точки равны нулю; в таком случае эти векторы будут равны нулю и для всякой другой точки (п° 15).
Чтобы выразить в аналитической форме условие эквивалентности нулю системы S, нужны шесть алгебраических уравнений:
Л' = К = Z = О, L=M = N= 0.
Они сводятся к двум геометрическим равенствам R=G = 0.
В частности, чтобы система двух векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы оба вектора имели одну величину и были прямо противоположны.
В самом деле, вектор R может обратиться в нуль лишь в том случае, когда ооа вектора имеют равные модули и ориентированы в противоположные стороны. Далее, так как главный момент должен обращаться в нуль, в частности, для точки, лежащей на одном из векторов, то необходимо, чтобы линия действия другого вектора проходила через этот центр, что может иметь место лишь в том случае, когда векторы прямо противоположны.
Замечание. — Если к системе векторов 5 присоединить другую систему S', эквивалентную нулю, то получившаяся система 6’ -j- S' будет эквивалентна системе S, так как присоединение системы 5 не изменяет ни R, ни G. — В частности, если система 5 эквивалентна нулю, то система 5S' тоже эквивалентна нулю.
20. Теорема.—Для эквивалентности двух систем векторов S и S' необходимо и достаточно, чтобы
система S", образованная присоединением к векторам
26
Введение
системы S векторов, прямо противоположных векторам системы S', была эквивалентна нулю.
В самом деле, изменяя направление векторов системы S' на противоположное, мы изменим тем самым только направления главного вектора и главного момента этой системы. Проекции на оси главного вектора и главного момента системы S", которую можно обозначить также 5-(-( — S')i будут поэтому:
Х—Х', Y—Y', Z—Z'; L-L', М—М', N-N'.
Если эти величины все равны нулю, то X = X1, ¦.. * т. е. обе системы эквивалентны, и наоборот.
21. Пара векторов. — Пара есть система, состоящая из двух векторов, равных по величине, параллельных и противоположно ориентированных. Когда оба вектора пары имеют одну линию действия (прямо противоположны), то система эквивалентна нулю.
Когда пара не эквивалентна нулю, то плоскость двух векторов, составляющих пару, называется плоскостью пары; расстояние между линиями действия векторов пары называется плечом пары.
Так как главный вектор пары равен нулю, то главный момент ее один и тот же для всех точек пространства (п°15). Этот главный момент G называется осевым моментом пары, или, короче, моментом пары. Он может быть приложен в произвольной точке пространства.
Построим осевой момент пары, выбирая центр моментов на одном из векторов пары. Момент пары приводится тогда к моменту другого вектора. Таким образом, осевой момент пары перпендикулярен к плоскости пары. Его величина равна произведению РЬ величины Р одного из векторов на плечо 8 пары.
Можно построить бесконечное множество пар, имеющих данный осевой момент G. В самом деле, можно по желанию задать плоскость пары, перпендикулярную к G, и выбрать произвольно в этой плоскости точки приложения векторов и общее направление их линий действия.
Введение
27
Плечо пары 8 определяется этим выбором, а величину Р и ориентацию обоих векторов находим после этого, принимая во внимание, что РЬ = G и что силы пары ориентированы в положительную сторону вращения вокруг G.
Две пары, осевые моменты которых геометрически равны, эквивалентны друг другу, так как они имеют один и ют же главный вектор (нуль) и одинаковые главные моменты.
22. Сложение пар. — Система нескольких пар эквивалентна одной паре, осевой момент которой равен геометрической сумме осевых моментов составляющих пар.
В самом деле, эта единственная пара имеет тот же главный вектор (нуль), что и система составляющих пар, и ее главный момент такой же, как у этой системы пар, так как главный момент пары совпадает с ее осевым моментом.
23. Параллельный перенос вектора. Пара переноса. — Не нарушая эквивалентности системы, можно перенести вектор Р системы, приложенный в точке А, в другую точку В, при условии, что мы присоединим к системе пару, осевой момент которой равен моменту вектора Р относительно точки В.
В самом деле, система остается эквивалентной самой себе, если мы присоединим к ней два вектора, приложенные в точке В, равные и параллельные Р и ориентированные в противоположные стороны, так как мы присоединяем этим самым систему векторов, эквивалентную нулю, что не изменяет ни главного вектора, ни главного момента системы (п°19). Но система трех векторов, полученных таким способом, состоит из вектора Р, перенесенного в точку В, и пары с осевым моментом, указанным в условии теоремы. Эта пара, которую нужно присоединить к перенесенному вектору, чтобы восстановить эквивалентность системы самой себе, чзстр называется парой переноса.
