Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Так как вектор (0'ЛА.) может быть разложен по формуле:
(0'.4*)-(0'0Н-(0Л,),
то получим;
G' = [(0'0)2 V,] 1- 2 КОЛ,,) Vk] = [(O'О) R] + G,
что и доказывает теорему.
В качестве частного случая, отсюда вытекает следующая основная теорема:
Теорема.— Если главный вектор системы равен нулю, то главный момент ее один и тот же для всех точек пространства.
В общем случае, когда главный вектор не равен нулю, главные моменты одинаковы для всех точек прямой, параллельной главному вектору. В самом деле, если два центра О и О' лежат на прямой, параллельной R, то
22
Введение
линия действия вектора R, приложенного в О, проходит через О', и момент R относительно О' равен нулю.
16. Теорема. — Если главный вектор системы векторов не равен нулю, то проекция главного момента системы на направление главного вектора постоянна длн любого центра моментов.
Пусть О и G'—главные моменты для двух произвольных центров О и О'. Напишем вновь соотношение предыдущего п°
О' = 0 + [(О'О)Я].
Момент [(0 0) /?] перпендикулярен к /?; поэтому, если сп; оектировать обе части предыдущего равенства на прямую, параллельную R, то получим:
пр. G' = пр. G.
Произведения этих проекций на модуль R главного вектора равны скалярным произв?дениям (RG') и (RG). Следовательно, скалярное произведение (RG) имеет одно и то же значение для всех точек пространства.
17. Центральная ось. Наименьший главный момент . — Так как проекция главного момента на главный вектор R (предполагаемый отличным от нуля) одна и та же для всех центров моментов, то главный момент будет наименьшим, если он параллелен R. Найдем геометрическое MtcTO точек пространства, для которых это условие выполняется.
Пусть О— начало прямоугольных осей Охуг, и пусть L, М, N—главные моменты системы относительно этих осей; они являются в то же время проекциями на оси глазного момента G относительно точки О. Пусть х,у,г — координаты некоторой точки О'. Момент G’ относительно О' раве н (п° 15), его проекции на оси будут
G +¦ [' О'О) R] = а [(00') /?];
Введение
23
L =L-(yZ-zY),
M’=M — (zX—xZ), N'=N—(xY—yX).
Условие, что вектор O’ параллелен R (проекции которого суть X, Y, Z), дает уравнения прямой:
L — (yZ — zY) М — (zX — xZ) _ N — (xY—yX)
X ~ Y ~ Z
Прямая, определяемая этими уравнениями, параллельна R, так как уравнения не изменятся, если увеличить х,у, z на количества, пропорциональные X, Y, Z. Эту прямую называют центральной осью моментов. Отсюда имеем следующую теорему:
Теорема. — Если вектор R не равен нулю, то существует прямая, параллельная R и называемая центральной осью, для всех точек которой главный момент системы получает свое наименьшее значение и оказывается равным своей постоянной проекции на R.
Если вектор /? равен нулю, то глэеный момент системы постоянен, и вопрос о его наименьшем значении отпадает. Предыдущие уравнения становятся неопределенными.
Наименьший момент может быть равен нулю. Пусть главный вектор R не равен нулю. Тогда для равенства нулю наименьшего главного момента необходимо и достаточно, чтобы главный момент G был перпендикулярен к главному вектору R для какой-нибудь точки, например, для начала координат О. Значит, скалярное произведение векторов R и G должно быть равно нулю, что выражается уравнением:
(RG)=^LXг MYт NZ = 0.
§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
18. Определение эквивалентности. — Две системы векторов называются эквивалентными, если они имеют одинаковые главные векторы и одинаковые главные
24
Введение
моменты относительно какой-нибудь точки пространства.
Чтобы не было никакой неясности, необходимо заметить, что если две системы векторов имеют один и тот же главный вектор R и один и тот же главный момент относительно какого-нибудь центра О, то они будут иметь одинаковые главные моменты и относительно всякого другого центра О'. В самом деле, главный момент каждой из этих систем относительно центра О' получается из главного момента относительно О прибавлением к последнему момента относительно О' вектора R, приложенного в О: эта геометрическая сумма одна и та же для обеих систем, и потому главные моменты, предполагаемые одинаковыми относительно точки О, останутся одинаковыми и относительно точки О'.
В аналитической форме условие того, что две системы векторов 5 и S' эквивалентны, представляют, записывая, что они имеют олин и тот же главный вектор и один и тот же главный момент относительно начала координат. Пусть R есть главный вектор системы S, G— ее главный момент относительно начала; X,Y,Z — проекции главного вектора R, и L, М, N—проекции главного момента G. Соответствующие величины для системы S' будем отмечать штрихами. Алгебраические условия эквивалентности выражаются шестью равенствами:
Х=Х', У= У', Z = Z'; L = L, М = М\ /V = AT.
