Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Если даны три направления, не лежащие в одной плоскости, то разложение возможно и выполняется единственным способом. Каждая составляющая получается проектированием вектора V на соответствующее направление при помощи проектирующей плоскости, параллельной двум другим направлениям.
3°. Наконец, если даны. более чем три направления, разложение всегда возможно, и притом бесконечный множеством способов.
Замечание. — Проекции вектора V на оси координат определяют на этих осях векторы, геометрически равные составляющим данного вектора по направлениям, параллельным указанным осям. Мы будем обозначать эти векторы через X, Y, Z.
Мы имеем, таким образом, разложение:
V=X+Y + Z.
13. Моменты результирующей системы векторов, приложенных в одной точке. Результирующие моменты.—
Рассмотрим систему векторов V1( V2, ¦.. , Vn, приложенных
Введение
19
в точке Л; пусть R—их результирующая. Она приложена в той же точке. Мы имеем следующую теорему.
Момент результирующей R системы векторов, приложенных в одной точке, относительно некоторой точки О равен сумме моментов составляющих Vlt V2, ... , Vn относительно той же точки.
Эта теорема есть следствие распределительного свойства векторного произведения. Пусть G есть момент вектора R, и Gk — момент вектора V,. относительно точки О. Имеем:
Gk=[(OA)Vkh 0 = [(0Л)Я].
Отсюда получаем:
= [(ол) s vk]=к ja)r\ = а,
что и доказывает теорему.
Спроектируем крайние члены этой цепи равенств на неподвижную ось, проходящую через точку О (центр Моментов); так как проекция суммы векторов равна сумме их проекций, то мы получаем следующую теорему:
Момент результирующей R системы векторов, приложенных в одной точке, относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих относительно той же оси.
Эти теоремы можно сформулировать короче, если воспользоваться следующими определениями:
Определение. — Для системы векторов, расположенных произвольно, результирующим, или главным моментом относительно некоторой точки называется геометрическая сумма моментов составляющих векторов относительно той же точки.
Результирующим, или главным моментом системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов составляющих относительно той же оси.
Высказанные теоремы формулир ются теперь следующим образом:
Т е орема. — Результирующий момент системы векторов, приложенных в одной точке, равен моменту их
2»
20
Введение
результирующей как относительно оси, так и относительно точки.
Замечание. — Векторы называют сходящимися, если их линии действия проходят через одну точку. Векторы можно перемещать вдоль их линий действия, не изменяя их моментов. Можно поэтому применить предыдущую теорему к системе сходящихся векторов, перенося их в общую точку пересечения линий действия.
14. Геометрическая сумма и результирующие моменты системы векторов, расположенных произвольно.— Пусть Vv V2, . .. , Vn — векторы, приложенные в произвольных точках Аи Л2, ... , Ап, и пусть О — данная точка.
Результирующая векторов V, перенесенных параллельно самим себе в точку О, называется их геометрической суммой в этой точке (п°4), или главным вектором.
Результирующий, или главный момент G системы относительно точки О есть (п°13) сумма моментов Gu G2, ... составляющих относительно той же точки:
G = <?i -}- <?2 4” ¦ • • •
Если мы спроектируем обе части этого равенства на одну и ту же неподвижную ось, проходящую через точку О, и заметим, что проекция суммы Gi -4* Gs -f- ... равна сумме проекций векторов G1( Ga, . .. , т. е. результирующему моменту системы относительно оси, то можем высказать следующую теорему:
Результирующий момент произвольной системы векторов относительно оси равен проекции на эту ось результирующего момента системы относительно какой-нибудь точки О на оси.
Эту теорему можно применить к трем прямоугольным осям Oxyz, проходящим через точку О. Таким образом, результирующие моменты L, М и N произвольной системы векторов относительно трех прямоугольных осей равны проекциям на эти оси результирующего момента G
Введение
21
относительно начала. Отсюда следует, что Z., М, N суть координаты точки G относительно осей.
15. Изменение результирующего момента с изменением положения центра моментов.—Пусть Vlt V»..., vn
есть система векторов, приложенных к точкам Аи Л2, , Ап, и R—их главный вектор. Рассмотрим два
различных центра моментов G и О' и результирующие моменты G и G' системы относительно этих двух точек. Мы имеем следующую теорему.
Теорема. — Результирующий момент G' системы относительно точки О' равен геометрической сумме ее результирующего момента G относительно точки О и момента относительно О’ главного вектора R системы, приложенного в О.
Эта теорема есть следствие распределительного свойства векторного произведения.
Мы имеем:
о = 2 [(Ол,) vt], g' = 2ко'л*)vk].
