Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Аналитическое выражение элементарной работы мы получим, если напишем аналитическое выражение скалярного произведения двух векторов F и ds. Пусть X, Y, Z — проекции силы F на оси; проекции вектора ds равны dx, dy, dz\ тогда будем иметь (п° 10):
Fds cos (F, ds) — Xdx -J- Ydy -j- Zdz.
Этот результат может быть также получен как следствие предшествующих теорем. Работа силы F равна сумме работ ее составляющих X, Y, Z по осям координат на каждом из перемещений dx, dy, dz (составляющих перемещения ds). Работа составляющей X на двух перемещениях dy и dz (перпендикулярных к А) равна нулю; работа этой силы на перемещении dx равна по величине и знаку Xdx, так как произведение Xdx положительно или отрицательно, смотря по тому, будут ли X и dx иметь одинаковые ориентации или противоположные. Таким образом, работа составляющей X равна Xdx; точно так же работы составляющих Y и Z равны соответственно Ydy и Zdz, и работа силы F равна сумме этих трех выражений.
)48 Часть вторая. Основные законы. Динамика To4H.il
123. Полная работа. — Предположим, как в предыдущем п°, что проекции X, Y, Z на оси силы Р и координаты х, у, г ее точки приложения М являются непрерывными функциями параметра t. Когда этот параметр изменяется от tQ до tv точка М описывает дугу кривой
Разделим промежуток времени (t0tx) на последовательные бесконечно малые промежутки величины dt. Полная работа силы F вдоль дуги М0М1 есть сумма элементарных работ, произведенных силой F на каждом из элементарных перемещений, соответствующих последовательным промежуткам времени dt. Полная работа силы F есть поэтому интеграл от элементарной работы и выражается определенным интегралом, распространенным на весь рассматриваемый промежуток времени:
Если заменить элементарную работу ее аналитическим выражением, то полная работа получит вид:
Не нужно, однако, забывать, что в этих интегралах независимая переменная есть t и что пределы и t{ относятся к t. Поэтому последний интеграл мог бы быть выражен в следующей более явной форме:
Обратим внимание на некоторые частные случаи:
1°. Если сила постоянна по величине и направлению, то полная работа равна произведению силы на сумму проекций элементарных перемещений на направление силы.
Но элементарные перемещения являются составляющими полного прямолинейного перемещения. Следовательно,
h
8= [ (Xdx-'r Ydy -f Zdz).
Глава V. Движение свободной точки-
149
работа силы, постоянной по величине и направлению, равна произведению модуля силы на алгебраическое значение проекции полного перемещения на направление силы.
2°. Прямолинейное перемещение. Если сила постоянна по величине и направлению и, сверх того, перемещение прямолинейно и направлено по силе, то полная работа равна произведению модуля силы на модуль перемещения и будет положительна или отрицательна в зависимости от того, перемещается ли точка в сторону действия силы или в противоположную сторону.
124. Единицы работы. — Единица работы есть работа силы, равной единице, если точка приложения силы перемещается на единицу длины в направлении и в сторону действия силы. В системе, где единицы длины и силы равны соответственно метру и килограмму, единица работы есть килограммометр.
В системе CGS единица работы есть эрг (или дина-сантиметр).
В практических измерениях за единицу работы берут величину, кратную эргу, джоуль, равный 107 = 10 (1000)9 эргов.. Джоуль есть работа одной мегадины на перемещении в 10 см. Один килограммометр равен 9,81 джоулей.
В системе MTS единица работы есть килоджоуль, или произведение одного стена на один метр (стен-метр). Действительно, 10® дин X Ю® см= Ю10 эргов = 103 джоулей.
Это равно примерно 100 кгм, так как 100 пл равны 0,98 килоджоулей.
Формула размерности работы имеет вид- FL или М1?Т 2.
125. Мощность машины. — Мощностью машины называют количество работы, которую эта машина совершает в единицу времени.
В системе CGS единица мощности есть эрг-секунда. Это есть мощность машины, которая производит работу в 1 эрг за секунду. Практически применяемая единица есть ватт или джоуль-секунда, равный Ю1 эрг-секунд. В качестве единицы мощности берут также
150
Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
киловатт или килоджоуль-секунду (равный 1000 ватт, или 1010 эрг-секунд). Отсюда следует, что киловч тт-час есть единица работы, равная 3600 килоджоулей.
В технике часто за единицу мощности берут лошадиную силу, представляющую собой мощность машины, которая производит работу в 1Ъкгм в секунду. Одна лошадиная сила равна 75X9,81 = 736 ватт. Лошадиная сила имеет, таким образом, величину порядка одного киловатта. Один киловатт равен 1,36 лошадиной силы.
Мощность есть отношение работы ко времени, поэтому формула размерности мощности имеет пид: FLT-1 или Ml.2T~s.
§ 6. СИЛОВОЕ ПОЛЕ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
126. Векторное поле. Силовое поле. — Предположим, что в каждой точке пространства или некоторой части пространства приложен некоторый вектор, определяемый координатами х,у, z его точки приложения. Пусть, например, проекции вектора на оси выражаются как функции от х, V, г общими формулами:
