Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
F — mj.
Приравняем проекции обеих частей этого геометрического равенства соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории. Если мы обозначим через Ft, Fn и Fb проекции F, то будем иметь:
Ft = >njt, Fn = rnJn, Fb — mjh,
и, заменяя проекции ускорения известными их значениями (п° 45), получим:
р dv n if- п л
Ff=,nJt' Fn-m-g. Fb — 0.
где R есть радиус кривизны траектории. Эти три уравнения представляют собой внутренние, или естественные уравнения движения. Они вполне эквивалентны уравнениям движения в прежней форме, так как, в свою очередь, влекут за собой геометрическое равенство F— mj.
Если сила остается постоянно нормальной к траектории,
то Ft равна нулю, следовательно, — тоже обращается
в нуль, и скорость постоянна по величине; в это.\г случае Fn изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны.
Если сила остается постоянно касательной к траектории, то F„ равна нулю, поэтому отношение v2:R также равно нулю; последнее требует, чтобы R = оо, и траектория будет прямолинейной.
Так как во всех случаях Fb равна нулю и Fn положительна, то сила направлена в сторону вогнутости траектории и расположена (как и ускорение) в соприкасающейся плоскости.
7-/2 Часть вторая. Основные законы. Динамика тонки
119. Центростремительная сила и центробежная сила. — Нормальная составляющая Fn полной силы, определяющей движение точки, как мы только что сказали, направлена к центру кривизны траектории и но величине равна mv2\R. Эта составляющая называется центростремительной силой.
В большом числе вопросов приходится рассматривать силу, равную и прямо противоположную центростремительной силе. Эта сила может быть в одних случаях действительной, в других фиктивной. Ей дают название центробежной силы.
120. Интеграл и теорема площадей. — Предположим, что сила F, действующая на точку М, постоянно пересекает неподвижную ось или ей параллельна. Примем эту неподвижную прямую за ось z и проведем прямоугольную
§ 4. ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ
г
у Так как X и Y пропорци-
* jo .. _»о. _
систему осей координат Oxyz (фиг. 27). Плоскость ху будет при этом перпендикулярна к неподвижной прямой. Момент движущей силы относительно оси z постоянно равен нулю, поэтому будем иметь xY—уХ= 0.
d"-x d2y
опальны —и —г?-, то
Л 1 - ntl 7
опальны
dt" dt2
будем иметь также:
Фиг. 27.
Левая, часть этого равенства есть производная по t от выражения
dy dx
1'лпва V. Движение свободной точки
143
Следовательно, само это выражение райпо постоянной С; умножая ею на dt, мы получаем равенство
xdy —ydx — Cdt.
Пусть s — дуга траектории точки М, отсчитываемая от начального положения точки М0, и о — соответствующая дуга, описываемая проекцией jj. точки М на плоскости ху, начиная от начального положения проекции ;i0 (фиг. 27). Выражение
xdy —ydx
представляет собой момент относительно оси г вектора ds, приложенного в точке (л:, у, г) и имеющего проекциями dx, dy и dz или, что то же самое, момент относительно точки О проекции da этого вектора на плоскость ху. Этот момент с точностью до знака равен удвоенной площади треугольника, имеющего вершиной точку О и основанием da. Но вектор da можно считать совпадающим с бесконечно малой дугой jajj/, описываемой проекцией за промежуток времени dt, а площадь указанного выше треугольника можно считать совпадающей с площадью Оул/, описываемой радиусом-вектором Ор за этот же промежуток времени dt. Эта элементарная площадь представляет собой дифференциал dS площади S, описываемой радиусом 0;х (проекцией радиуса-вектора ОМ), начиная от его начального положения Оу0. Эта площадь считается положительной или отрицательной, смотря по тому, описывается ли она в прямом направлении или в обратном. Последнее уравнение может быть поэтому написано в виде:
2dS — Cdt.
Этот первый интеграл уравнений движения носит название интеграла площадей. Интегрируя снова и замечая, что S обращается в нуль вместе с t, получим:
144 Часть вторая. Основные законы. Динамика точкй
Отсюда имеем следующую теорему:
Теорема площаде й .—Если направление движущей силы постоянно пересекает неподвижную ось или ей параллельно, то проекция на плоскость, перпендикулярную к оси, радиуса-вектора, проведенного из какой-нибудь точки оси к движущейся течке, описывает в этой плоскости площади (положительные или отрицательные), пропорциональные времени.
121. Теорема площадей в случае центральной
силы. — Предположим теперь, что точка М приводится в движение центральной силой, т. е. силой, проходящей постоянно через неподвижную точку О, и возьмем О за начало координат. Предшествующая теорема применима по отношению к каждой из трех осей Ох, Оу и Ог. Имеем, следовательно, три уравнения:
