Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
116. Количество движения. Измерение постоянных сил.—Рассмотрим прямолинейное движение точки с массой т под действием постоянной силы величины F. Мы будем
138 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
предполагать, что точка выходит из начала координат с нулевой скоростью и двигается по оси Ох, направленной в сторону действия силы F. Единственное уравнение движения будет
Интегрируя последовательно два раза и замечая, что v и х обращаются в нуль вместе с t, получим:
dx г~,
m-гг = mv —Ft.
at
t2
tux = F j •
Если положим i— 1, то первое уравнение нам даст F = mv ,
и если m = 1,
F —V .
Количеством движения, или импульсом точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее геометрическую скорость; величина этого вектора (алгебраическая) равна поэтому mv. Предшествующие уравнения выражают, таким образом, следующие теоремы:
Постоянная сила измеряется количеством движения, которое она сообщает движущейся точке в единицу времени. — В частности, постоянная сила, действующая на единицу массы, измеряется скоростью, которую она сообщает этой массе в единицу времени.
Эти правила имеют частое применение в физических науках, но их можно прилагать только к силам, постоянным по величине и направлению.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ
117, Движение тяжелой точки в пустоте. — Рассмотрим в качестве приложения уравнений предшествующего параграфа движение тяжелой точки в пустоте. Мы отвле-
Глава V. Движение свободной точки
139
каемся, таким образом, ог сопротивления воздуха и предполагаем, что точка находится только под действием силы тяжести. Будем рассматривать лишь достаточно малую часть траектории, чтобы можно было считать силу тяжести постоянной по величине и направлению во всей области движения.
Пусть О—начальное положение и v0 — начальная скорость точки. Примем за плоскость ху вертикальную плоскость, проходящую через начальную скорость, поместим начало координат в точке О и проведем ось^ вертикально в сторону действия силы тяжести. Точка находится под действием своего веса р = mg, поэтому ускоряющая сила (п°115) равна g и направлена в положительную сторону по оси у. Уравнения движения будут:
еРх _ d-y dlz _ ...
dft dfl~~g' dfl~
Обозначим через а угол наклона начальной скорости к горизонтали Ох; тогда в начале координат при t — О будем иметь:
(vj0 = v0 cos a, (vy\ = — vQ sin a, (i>2)0 = 0.
Интегрируя уравнения (1), получим:
const., = + const., I? = const.,
или, определяя постоянные по начальным условиям,
dz dy , dz ..
- = v0cos<x, ~^gt-v0 ma, - = 0.
Интегрируя еще раз и замечая, что х, у, г обращаются в нули при ? = 0, получим:
crfi
x—v0t cos а, У — 2-----------^sina> z—0. (2)
Таковы конечные уравнения движения. Движение происходит в плоскости ху, т. е. в вертикзльной плоскости, проходящей через начальную скородт^.
140 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Исключая t из уравнений (2), получим уравнение траектории:
у — л ?х* х----xtga. (3)
2г>02 cos2 а & 4 1
Траектория представляет собой параболу с вертикальной осью, ориентированной в сторону действия силы тяжести.
Найдем точку, в которой траектория вновь, после выхода из начала, пересекает горизонтальную ось Ох. Для этого нужно положить в уравнении (3) у — 0, что дает
х = sin a cos а =^- sin 2а . g g
Это расстояние называется дальностью полета (amplitude du jet). При одном и том же значении начальной скорости дальность наибольшая, если sin 2« = 1, т. е. для а ==45°. Наибольшая дальность равна
V
х — — . g
Наибольшая высота, до которой поднимается точка на своей траектории, достигается при х, равном половине дальности (вследствие симметрии), или при
.
х = — sin a cos а:
g
эта наибольшая высота равна поатому
II — ysin^g Ш— ~2 g •
При вертикальной начальной скорости (а = 90°) она равна половинз наибольшей дальности, и только четверти дальности, если а = 45°.
§ 3. ВНУТРЕННИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.
ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ И ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛЫ
118. Внутренние уравнения. — Рассмотрим точку М с массой т, описывающую свою траекторию под действием Силы (результирующей) F, и предположим, что эта траек-
Глава К. Движение свободной точки
тория дана. Положение точки М на траектории определяется длиной s дуги, описываемой точкой от начального положения М0; дуга s может быть положительной или отрицательной в зависимости or выбора направления положительного отсчета дуг на кривой. Пусть j—ускорение точки в момент t\ мы имеем
