Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
L =yZ — zY, М = гХ—xZ, N= xY—уХ.
Замечание.—Важно напомнить, что L, М, N представляют собой также проекции на оси координат момента"
вектора АР относительно начала координат (п° 7).
9. Векторное произведение. — Векторное произведение IVjV2] двух векторов V, и Va есть свободный вектор,, определяемый следующим образом:
Приложим оба вектора V, и V2 к одной точке О; векторное произведение есть вектор, равный по величине-площади параллелограма, построенного на этих векторах, направленный по нормали к плоскости этих векторов И' ориентированный так, чтобы вращение от V, к V2 происходило вокруг него в прямом направлении.
Если векторы параллельны между собой, то их векторное произведение равно нулю.
Из этого определения следует, что векторное произведение не обладает переместительным свойством: два произведения [VjV,] и [ V2 Vj] противоположны.
Векторное произведение приводится к моменту. В самом деле, приложим вектор V, к точке О, а вектор V%. к концу Vj первого вектора. Непосредственно видно, что произведение [ Vj V2] равно моменту вектора V%. относительно точки О.
Принимая точку О за начало прямоугольных осей, непосредственно получаем проекции произведения [VjV2]Ha эти оси Ох, Оу и Ог или на оси, параллельные им.
.16
Введение
Пусть Хи Yj, Z1 и ЛГ2, Т2> Z2— проекции множителей V, и Va. Тогда искомые проекции равны моментам относительно осей вектора (ЛГ2, Г2, Za), приложенного я точке (Xlt Yu Zt), и выражаются следующими разностями:
YtZ2— Zj Yq, Z[A’2—^Z2, -^1^2
Отсюда ясно видно, что проекции векторного произведения меняют знак, если изменить порядок множителей.
Можно заметить, что проекции произведения [ViVg] на прямоугольные оси равны соответственно определителям, образованным из матрицы
X.Y.Z,
X2Y2Z2
Векторное умножение не коммутативно, легко убедиться также в том, что оно не обладает и свойством ассоциативности: произведения вектора [VjVa] на V3 и вектора на [VeV3], вообще говоря, различны между собой. Наоборот, эта операция, как и сложение, обладает распределительным свойством. В самом деле, имеем:
К^ + Уа)У31 = 1ЦУ31-Ь[УаУ3],
Все эти свойства непосредственно проверяются на проекциях векторов.
Замечание. — Момент вектора V относительно точки О может быть, в свою очередь, определен как векторное произведение. Пусть М есть точка приложения вектора V; момент вектора V относительно точки О есть произведение [MV] векторной координаты точки М (относительно полюса О) на вектор V.
10. Скалярное произведение. — Скалярное произведение двух векторов Vy и V2 есть положительное или отрицательное число, равное произведению модулей этих
Введение
17
векторов на косинус угла а между ними. Это произведение -обозначается через (V^Kj); таким образом, имеем:
(^Ц) = 1^8 cos а.
Скалярное произведение можно рассматривать как произведение двух множителей:
^i(^acosa) или ^2(^1 cos а);
оно равно поэтому произведению величины одного из множителей на проекцию (взятую с ее знаком) другого множителя на направление первого.
Скалярное умножение приводится к алгебраическому умножению и потому обладает переместительным и распределительным свойствами.
Предположим, что векторы Vy и V2 отнесены к системе прямоугольных осей, и пусть Xlt Ylt ZL и Х2, К2, Z2 — их проекции. Найдем аналитическое выражение скалярного произведения этих векторов. Имеем
C0S *-V'1V'2+ V'1^+ V'l V
Следовательно,
(VL V9) = V, Vt cos a = XLXo + Yl Y2 -f Z^ZV
§ 2. СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
11. Результирующая системы векторов, приложенных в одной точке. — Результирующей системы векторов VuV9,...,Vn, приложенных в одной точке А, называют вектор R, равный их геометрической сумме и приложенный в той же точке. — Обратно, векторы V называются составляющими вектора R.
Отнесем систему векторов к трем осям, прямоугольным или косоугольным. Обозначим через Xk, Yk, Zk алгебраические значения проекций вектора Vk на оси (& =. 1,2,.. .,п). Проекции X, Y, Z вектора R на оси будут (п°4):
-ЛГ=?**, Z = %Zh.
2 Заи. #58.
18
Введение
Очень часто встречаются следующие частные случаи:
1°. Если имеются только две составляющие, то результирующая есть диагональ параллелограма, построенного на двух составляющих как на сторонах.
2°. Если имеются три составляющие, не лежащие в одной плоскости, то результирующая есть диагональ параллелепипеда, построенного на этих трех составляющих как на ребрах.
12. Разложение вектора на его составляющие.—-
Можно также разложить вектор V, приложенный в точке.О, на его составляющие по заданным направлениям: При этом следует различать несколько случаев.
1°. Если даны только два направления Ох и Оу, то разлож:ние возможно лишь в том случае, ес-,и вектор V лежит в плоскости Оху. В этом случае обе составляющие получаются проектированием вектора V на каждое из двух направлений параллельно другому направлению.
