Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
91. Различные приложения, — Эпициклоиды. Окружность с центром О катится внешним образом по неподвижной окружности с центром О': точка М движущейся окружности описывает при этом эпициклоиду. Точка касания С обеих окружностей есть мгновенный центр, МС — нормаль к эпициклоиде. Проведем диаметр MON движущейся окружности и соединим N и О', прямая NО' пересечет МС в центре кривизны Z эпициклоиды (п° 89). Подобным же способом можно построить центр кривизны удлиненной или укороченной эпициклоиды, описанной внешней или внутренней точкой катящейся окружности. При внутреннем качении кривая, описанная точкой М окружности, представляет собой гипоциклоиду, но построения останутся такими же.
Рассмотрим теперь эллипс, описанный точкой М прямой АВ (фиг. 25), которая скользит своими концами по двум неподвижным осям Ох и Оу. Мгновенный центр С есть точка пересечения перпендикуляров к обеим осям, восставленных в точках А к В. Точка К совпадает
108
Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
с точкой пересечения О обеих осей Ох и Оу, так как скорости точек А и В проходят через К (все точки прямолинейной траектории представляют собой точки перегиба).. Теперь можем выполнить первое построе-
ние центра кривизны Z (п° 87): соединяем прямой точки О и М, проводим прямую CN, перпендикулярную к МС и пересекающую ОМ в точке N, и прямую NZ, параллельную ОС и пересекающую СМ в Z: точка Z и будет искомым центром кривизны.
Можно также найти центр кривизны огибающей прямой АВ, рассмотренной в предыдущей задаче (фиг. 26). Мы знаем уже мгновенный центр С и центр перегибов О (точка К предшествующих п°). Точка касания М прямой с ее огибающей есть основание перпендикуляра СМ, опущенного из точки С на прямую, так как точка М перемещается параллельно АВ. Найдем теперь центр кривизны Z огибающей в этой точке. Центр кривизны огибаемой (прямой АВ) есть точка О, удаленная в бесконечность по прямой СМ. Искомый центр Z есть центр кривизны траектории, описываемой в бесконечности точкой G движущейся фигуры. Первое построение этого
Глава 111. Дополнительное изучение ускорения 109
центра кривизны (пс 87) выполняется в данном случае как в предельном следующим образом:
Проводим прямую OD (заменяющую GK, п° 87), параллельную МС и пересекающую АВ в точке D, затем прямую CN, перпендикулярную к МС и пересекающую OD в точке N, наконец, прямую NZ, параллельную ОС и пересекающую МС в искомой точке Z.
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ В ДВИЖУЩЕМСЯ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
92. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку. — Рассмотрим сначала распределение ускорений в твердом теле, имеющем одну неподвижную точку. Возьмем эту точку за начало трех прямоугольных осей Oxyz. Пусть р, <7, г — проекции мгновенного вращения о> твердого тела вокруг оси, проходящей через точку О. Проекции скорости точки М с координатами х, у, z тогда будут:
vx = Qz — ry, vy = rx — pz, vz = py — qx.
Проекции ускорения точки М на оси будут равны
производным от этих выражений:
ix — qv, — rVy + (<?'- — г'у),
iy = rvx — pvz -f- (r'x — p'z),
h = PVy — qvx + {p'у — q'x).
Направим ось z по мгновенной угловой скорости to в момент (в ту же сторону, как to; тогда будем
иметь р = q = 0, r — tи; следовательно,
vx= —<°У, vy =шЛГ» ^ = °. и предыдущие формулы для рассматриваемого момента t приводятся к виду:
.4= — <°2 x-\-q'z — r'y,
= — «Ру+r'x — p'z, (1)
/,= p'y — q'x.
110 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
Эти равенства показывают, что j есть результирующая двух векторов.
Первый вектор, проекции которого равны —<o2jc, —
О, есть нормальное ускорение ^п, соответствующее непрерывному вращению ео вокруг мгновенной оси, рассматриваемой как неподвижная.
Второй вектор имеет проекции на оси
Но в рассматриваемый момент р, q равны нулю вследствие выбора осей координат; дифференцируя равенство р2 q2 -f- ra = <оа и замечая, что г = <о, получим г' = и/. Поэтому предыдущие проекции могут быть также написаны в виде:
Если бы мгновенная ось имела постоянное направление, то проекции касательного ускорения были бы—и'у, <а'х, 0. Отсюда следует, что второй вектор отличается, вообще говоря, от касательного ускорения, вызванного вращением ео в предположении, что оно непрерывное; он совпадает с этим касательным ускорением только в том частном случае, когда p' = q' = 0.
Второй вектор в выражении ускорения допускает простое истолкование. Если вектор угловой скорости ft) отложить от точки О, то скорость конца этого переменного вектора будет иметь проекциями р', qr, г'. Отложим dt*)
от точки О вектор , геометрически равный указанной
скорости; тогда второй вектор в выражении ускорения будет равен моменту относительно точки М определенного таким образом вектора, т. е. векторному произведению
93. Распределение ускорений в свободном твердом
