Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Если бы неподвижная центроида катилась по своей касательной Су в течение промежутка времени dt, то она
104 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
повернулась бы на угол (положительный или отрицательный)
Точно так же, если бы подвижная центроида катилась по своей касательной, то она повернулась бы на угол
но, так как она катится по кривой Ср то она повернется на разность двух предыдущих углов
Так как этот угол равен mdt, то получим
J_______1____ _1_
R R' w и
Таким образом, приходим к следующему построению точки К (фиг. 22). Соединим произвольную точку N
плоскости с тремя точками N С,О,О'; проведем прямую CN',
параллельную O'N и пересекающую ON в точке N'i проведем, наконец, N'K, параллельную СМ. Прямая N'K пересечет 00' в искомой точке К, которая и есть полюс перегибов.
Фиг. 22.
Действительно, имеем
ОСУ __ N0 _ СО _ СО + 00' СО N'O OK ~ СО + ОК ’
или
R' — R _ R' 1 l _ i
R СК ’ R R’ ~ CK
Г лава III. Дополнительное изучение ускорения
105
Таким образом, в силу результата, полученного выше, имеем СК = и.
Когда даны два центра кривизны, то для определения центра кривизны L траектории точки М фигуры нет необходимости строить полюс перегибов К. Действительно, в этом случае мы можем выполнить следующее построение Савари (фиг. 23). Соединяем точку М с центром кривизны О подвижной центроиды; проводим через мгновенный центр перпендикуляр CN к МС, представляющий собой нормаль к траектории точки М. CN пересекает д/,
МО в точке N) проводим прямую O'N. Эта гТрямая пересечет нормаль МС в искомом центре кривизны. В самом деле, построим полюс перегибов К только что указанным способом, проводя прямую СЛГ, параллельную O'N и пересекающую ОМ в ЛГ, затем прямую N’К, параллельную CNи пересекающую 00' в точке К; прямая N'K (перпендикулярная к МС) пересекает СЛ1 в А. Теперь видно, что центр кривизны Z построен при помощи данных точек С, А и вспомогательных N, Nf так же, как при втором способе построения этого центра (п° 88, фиг. 21).
90. Центр кривизны огибающей неизменяемой движущейся линии. — Рассмотрим кривую PQ неизменяемой формы, движущуюся так, что она постоянно остается в соприкосновении с другой кривой RS, которая представляет, таким образом, ее огибающую (фиг. 24"). Определение центра кривизны Z огибающей в точке М производится на основании изложенных выше соображений. Рассмотрим положение кривой PQ в тот момент, когда она касается RS в точке М, пусть G — центр кривизны PQ
Фиг. 23.
106 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
в этой точке. При перемещении движущейся фигуры прямая GZ, представляющая собой общую нормаль к кривым PQ и RS, катится по развертке кривой /?5. В свою очередь при движении по отношению к GZ развертка кривой PQ (которая в своем абсолютном движении увлекает движущуюся фигуру, но не изображена на фигуре 24) катится по той же нормали GZ. Перемещение движущейся фигуры скла-
ние GC, р — отрезок CZ и ш1—угловая скорость при вращении нормали GZ вокруг Z (переносное вращение). Абсолютная скорость <ог точки G совпадает со скоростью ее переносного движения toA (г —f- р); следовательно,
С другой стороны, мгновенный центр С перемещается по нормали GZ; скорость его переносного движения есть проекция на направление, перпендикулярное к GZ, его абсолютной скорости w, составляющей с GZ (или МС) угол ©, определенный выше. Поэтому имеем
Исключая <о1 из этих двух соотношений, получим:
Фиг. 24.
дывается, таким образом, из двух одновременных движений: переносного качения вместе с прямой GZ и относительного качения по GZ. В относительном движении скорость центра кривизны О, совпадающего с точкой касания прямой GZ и развертки, равна нулю, поэтому скорость точки G приводится к скорости переносного движения. Пусть С — мгновенный центр абсолютного вращения кривой PQ, ш—угловая скорость вокруг С, г—расстоя-
oijp = w cos <p.
P
Глава III. Дополнительное изучение ускорения
107
откуда
1 I 1 _ * _ 1
г I р w cos 9 и cos <?
Эта формула тождественна с формулой Савари, следовательно, Z есть центр кривизны траектории точки G. Мы имеем, таким образом, следующую замечательную теорему:
Если кривая неизменяемой формы перемещается в своей плоскости и имеет огибающую, то центр кривизны огибающей в какой-нибудь ее точке совпадает с центром кривизны траектории, описываемой центром кривизны подвижной кривой, в fnom момент, когдг последняя касается огибающей в рассматриваемой точке.
Если движущаяся кривая представляет собой прямую, то центр кривизны ее удален в бесконечность по нормали к ней, но теорема остается справедливой.
