Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Точка С движущейся фигуры была исключена из предыдущих рассуждений. В этой точке скорость равна нулю, поэтому ее ускорение fc параллельно ее скорости в момент t-\-dt и, следовательно, направлено по касательной к траектории точки С фигуры. Таким образом, Тс есть тангенциальное ускорение, нормальное же ускорение точки фигуры, совпадающей с С, равно нулю.
86. Формула Савари. — Выражение (4) для jn приводит к построению центра кривизны Z траектории, описываемой точкой М движущейся фигуры. Обозначим через R алгебраическое значение радиуса кри-
Глава III. Дополнительное изучение ускорения 101
визны MZ, считая это значение положительным при ориентации в ту же сторону, какт. е. от М к С. Условившись так относительно знаков, будем иметь
х)1 «V2
/» = -?-= >‘
сравнивая полученную формулу с выражением (4) для будем иметь
f>2
= г—и COS®, (6)
или еще
R(r — и cos ®) = г2.
Пусть А — точка, в которой радиус-вектор СМ пересекает окружность перегибов. Так как имеем (учитывая знаки)
R—MZ, г—и cos w — MA, то предыдущая формула дает, по величине и знаку,
MZ ¦ МА = (МС)2. (7)
Полученная формула носит название формулы Савари. Она написана в виде, наиболее удобном для учета знаков. Между тем, чаще всего ее пишут иначе. Соотношение (6) может быть написано в виде r(R — г)
----5—= и cos?;
полагая R — r-f— р, приведем его окончательно к следующему виду:
— + — =—-----------• (8)
Г ' р и COS IB ’
Такова, в ее классической форме, формула Савари. Формула Савари, написанная в виде (7), показывает, что два отрезка MZ и МА имеют одинаковые знаки,
т. е. ориентированы в одну сторону. Таким образом, центр
кривизны всегда лежит на перпендикуляре МС к скорости точки М с той же стороны от М, кик и точка А, в которой радиус-вектор СМ пересекает окружность перегибов.
102 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
87. Первое построение центра кривизны. — Если известно положение мгновенного центра С и полюса перегибов К, то формула Савари дает возможность построить центр кривизны Z следующим образом. Из точки М проводят полупрямые МС и MR (фиг. 20). Из точки С восставляют к МС перпендикуляр CN, пересекающий МК в N, затем проводят прямую NZ, параллельную КС', прямая
NZпересекает МС в искомом центре кривизны Z. В самом деле, если опустим, кроме того, перпендикуляр КА на МС, то А есть точка пересечения СМ с окружностью перегибов. На основании подобия имеем
МА МК
М
МС
МС MN ' MZ
откуда
МА -MZ =
Таким образом, кривизны, в силу
: (МС)2.
Z есть центр формулы (7).
88. Второе построение центра кривизны. — Если кроме С, известна точка А на радиусе МС (что имеет место, когда дана окружность перегибов), то центр кривизны Z можно построить, не обращаясь к точке К. Сначала проводим произвольные прямые MN и CN, пересекающиеся в точке N (фиг. 21); потом строим прямую AN', параллельную CN и пересекающую ММв точке ЛГ; тогда прямая NZ, параллельная ЛГС, пересечет МС в центре кривизны Z, как в предшествующем построении.
Если бы неизвестным было положение точки А, а даны были бы точки М и Z, то, изменив соответственно построение, мы нашли бы точку А.
Отсюда следует, что для построения окружности перегибов достаточно знать мгновенный центр С и центры кривизны Z и Z' траекторий двух точек М и М' фигуры.
Г лава III. Дополнительное изучение ускорения 103
М
Необходимо только, чтобы радиусы-векторы гиг' точек Л1 и М' имели различные направления. Действительно, в этом случае можно построить две различные точки А и А' окружности перегибов, что вместе с точкой С дает три точки, достаточные для построения этой окружности. После этого можно построить центр кривизны для любой точки фигуры. Нетрудно, впрочем, указать прямое построение неизвестного центра кривизны при помощи двух известных центров. Это построение мы не будем здесь рассматривать.
89. Третье построение центра кривизны. — Если известны положения центров кривизны О и О' подвижной Ст и неподвижной Cf центроид, то полюс перегибов можно найти следующим способом.
Проведем через точку С две прямоугольные оси Сх и Су, направив ось х по общей нормали Сх к обеим кривым, в ту сторону от неподвижной центроиды, где находится подвижная центроида. При этих условиях, если заставить фигуру двигаться так, чтобы вращение вокруг мгновенного центра происходило в положительную сторону (от Сх к Су), то скорость w этого центра будет направлена по оси Су в положительную сторону и будет поэтому положительна. Величина и = w : <о, подлежащая определению, будет также положительной и расположится по Сх. Пусть R и R'— радиусы кривизны СО и СО' подвижной и неподвижной центроид, рассматриваемые как положительные или отрицательные, смотря по тому, отложены они в сторону Сх или в противоположную сторону. Пусть далее ds— длина дуги, описываемой точкой С на той и на другой кривой за время dt; тогда ds = wdt.
