Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
1х" = 2 (?«*' — гч>у\ jym = 2 (rvj — pvj),
}tm =*2{pvu'— qvj).
Из предыдущей теоремы ясно видно, что если движение подвижной системы отсчета задано, то добавочное ускорение движущейся точки зависит лишь от ее относительной скорости.
Добавочное ускорение обращается в нуль вместе с каждым из множителей произведения т. е. в двух
очень важных случаях: 1°. Если относительная скорость равна нулю; 2°. Если подвижная система отсчета движется поступательно *).
82. Сложное центробежное ускорение. — Геометрическое равенство, связывающее ускорения, может быть написано в виде
/=У—/—г.
Таким образом, относительное ускорение равно геометрической сумме абсолютного ускорения и ускорений, равных по величине, но противоположных ускорениям, переносному и добавочному. Ускорение—равное по величине, но противоположное добавочному ускорению, называется также сложным центробежным ускорением.
*) Следует также отметить случай, когда вектор относительной скорости параллелен вектору угловой скорости переносного вращения. {Прим. перев.)
Тлава III. Дополнительное изучение ускорения
95
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ФИГУРЕ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ
83. Разложение ускорения точки фигуры на три составляющих. — Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в своей плоскости. Отнесем ее к двум прямоугольным осям Ох и Оу. Пусть х0, у0— координаты мгновенного центра вращения С, и ш — алгебраическое значение угловой скорости вращения вокруг С (рассматриваемое как положительное при вращении от Ох к Оу). Проекции на оси скорости той точки М движущейся фигуры, координаты которой суть х, у, определяются формулами (1) п°69; их значения в момент t равны:
vx= —а) [у— Уо), vy = <»(x — x0). (1)
Проекции на оси ускорения точки М равны производным от этих величин по времени:
ix — шУо — *»>„ — ш' (У—Уо), jy = — шхо' + (* — х0);
откуда, подставляя vx к vy из формул (1), получим:
Jx = шУо — а>2 (* — х0)—ш’ (у —у0),
jy = — «*о' — 0)5 O' ~Уо) + “'(* — *«>)¦
Каждая из правых частей формул (2) представляет собой сумму трех членов, которым можно дать следующую кинематическую интерпретацию.
Для точки xQ, yQ правые части приводятся к их первым членам шу0' и —Следовательно, эти члены представляют собой проекции ускорения точки фигуры, совпадающей в данный момент с мгновенным центром х0, у0.
Если бы мгновенный центр был неподвижен, то движение было бы круговым, и правые части приводились бы ко второму и третьему членам:
— 0)2 (x — xa) — o)' (у — уо),
— о>2(У—Уо) + °>'(х — х0)-
96 Часть первая. Кинематика тонки и твердого тела
Но в этом круговом движении нормальное ускорение, равное по величине ш2г (где г есть радиус СМ), не зависит от о/, а тангенциальное ускорение, равное по величине dv:dt=<s>'r, не зависит от ш. Следовательно, вторые члены в правых час1ях формул (2), т. е. члены с ша, суть проекции нормального ускорения а последние члены, т. е. члены с и/, — проекции тангенциального ускорения ff, причем эти ускорения создаются круговым движением точки М вокруг точки С (рассматриваемой как неподвижная) с переменной угловой скоростью о».
Формулы (2) приводятся, таким образом, к геометрическому равенству
У = То + Тп + Ъ (3)
и мы имеем следующую теорему:
При движении плоской фигуры в ее плоскости ускорение любой точки фигуры равно геометрической сумме трех отдельных ускорений: 1° ускорения у0 тонки фигуры. совпадающей с мгновенным центром; 2’ нормального ускорения и 33 тангенциального ускорения "(t, причем оба последние ускорения рассматриваются во вращательном движении вокруг мгновенного центра (предполагаемого неподвижным) с переменной угловой скоростью ш.
84. Центр ускорений; — Если величины шиш' обе равны нулю, то из формул (2) видно, что все точки фигуры имеют одно и то же ускорение ув. В этом случае либа ни одна из точек фигуры не имеет ускорения, равного нулю, либо ускорения всех точек равны нулю. Исключим этот случай. Если положим
]х = “V —102 — О —-Уо) = °>
)у = — шлго' — (у —yQ) -f -«' (л; — х0) = О,
го полученная система линейных уравнений относительно неизвестных х, у будет вполне определенной, Та;< как детерминант системы, равный ш4 —J— со'2, отличен от нуля. Эта система имеет поэтому единственное решение xlt уу
Глава III. Дополнительное изучение ускорения
97
Вычтем из предыдущих выражений нулевые их значения, которые получим, полагая в них x = xv y = yt; тогда будем иметь:
Jx = — «* (* — *!)— «' (у —Ух),
iy = — ®* (у — у,) + «'(* — xj.
Это как раз такие формулы, которые мы имели бы (на основании сказанного в предшествующем п°), если бы точка М вращалась вокруг точки л^, _уь предполагаемой неподвижной, с переменной угловой скоростью <о. По этой причине точке x[t дают название центр ускорений.
