Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Важно обратить внимание на следующее:
1°. Ориентация вектора V совпадает с движением при прямом вращении вокруг вектора G.
12
Введение
2°. Величина момента равна удвоенной площади треугольника, имеющего вершиной точку О и основанием вектор V.
3°. Момент не изменяется, если заставить скользить вектор вдоль несущей его прямой. Он меняет свою ориентацию на противоположную одновременно с V.
4°. Если вектор V умножить на произвольное число т (положительное или отрицательное), то момент G умножится на то же число.
7. Момент относительно оси. — Момент вектора V относительно оси определенной ориентации Ог есть положительное или отрицательное число, равное алгебраи-
ческому значению проекции-(ортогональной) на эту ось момента V относительно точки Р О, взятой произвольно на оси. Необходимо, очевидно, показать, что выбор точки О не оказывает влияния на значение р, момента, определенного указанным здесь способом.
Пусть АР есть вектор V_ Проведем через точку О (фиг. 2) плоскость, перпендикулярную к оси Ог, и найдем*
проекцию A^Pi вектора АР на эту плоскость. Пусть,
далее, 00 есть момент АР, a OOj — момент А^Рг относительно точки О. Этот последний вектор лежит на оси Огг и представляет собой, как мы сейчас покажем, проекции*
момента 00 на эту ось.
В самом деле, пусть я есть угол (положительный и меньший прямого) между двумя плоскостями О АР и ОА1Р1;. векторы б и б, перпендикулярны соответственно к эти» двум плоскостям и ориентированы от этих плоскостей в одну и ту же сторону (в сторону Ог или в противоположную) г
Введение
13
они образуют поэтому между собой тот же угол а, что И указанные две плоскости. Площадь ОА1Р1 есть проекция площади ОАР, поэтому
площадь ОА1Р1 = (площадь ОАР) cos а.
-С другой стороны, модули 00 и 00, соответственно равны удвоенным значениям указанных площадей; поэтому имеем также
001 = 00 cos я,
•откуда и видно, что отрезок 00, равен проекции вектора 00 нд ось Ог, так как а есть как раз угол между
векторами 00 и 00,.
Так как векторы G и G, расположены по одну сторону от плоскости, нормальной к Ог, то G, есть геометрическая проекция G на Ог.
Момент вектора V относительно оси Ог есть алгебраическое значение момента относительно некоторой точки О этой оси проекции вектора V на плоскость, перпендикулярную к оси и проходящую через точку О.
Это определение, очевидно, не зависит от выбора точки О на оси Ог, а потому то же справедливо и для первого определения.
Замечания. — 1°. Момент вектора V относительно оси Ог будет положительным или отрицательным, смотря по тому, будет ли проекция вектора на плоскость, перпендикулярную к оси Ог, ориентирована в положительную или отрицательную сторону вращения вокруг Ог.
2°. Момент вектора V относительно оси Ог может обратиться в нуль лишь в том случае, когда вектор равен нулю или когда он лежит в одной плоскости с осью Ог.
8. Моменты вектора относительно трех прямоугольных координатных осей. — Пусть АР есть вектор, отнесенный к трем прямоугольным осям; пусть далее х,у,г— координаты его начала А, и X, Y,Z—его проекции на оси. Вычислим момент вектора относительно оси Oz. Согласно
14
Введение
второму определению предыдущего п°, этот момент равен алгебраическому значению момента относительно начала
координат проекции АгРх вектора АР на плоскость ху.
Последний момент получается непосредственно, если
вектор АХРХ приложен в точке оси х (фиг. 3). В самом деле, так как х, есть абсцисса точки Аи то рассматриваемый момент равен по величине удвоенной
сторону вращения вокруг оси Ог или, иначе, ориентирован ли момент этого вектора в сторону положительных или отрицательных г.
В общем случае вектор А1Р1 приложен в произвольной точке Аг с координатами х, у (фиг. 3); но так как этот вектор можно перенести, не изменяя значения момента,
з произвольную точку линии его действия, то можно переместить его до оси х, что приводит к рассмотренному уже случаю.
• Все сводится, таким образом, к отысканию абсциссы хъ
точки пересечения линии действия вектора А^Рг с ось(о Ох. Эта прямая проходит через точки х, у и х -J- X, у -J- У; уравнение ее имеет вид:
площади треугольника ОА1Р1 с основанием х, и высотой У; а потому, если оставить пока в стороне знак, он равен XjK. Но равенство справедливо также и в смысле знака,
х так как это произведение положительно или отрицательно, смотря
Фиг. 3.
по тому, ориентирован ли вектор А1Р1 в положительную или отрицательную
Введение
15
отсюда имеем по величине и знаку искомый момент:
XlY=xY—yX.
Обозначим через L, М, N моменты вектора АР относительно каждой из трех координатных осей. Мы только что вычислили N] два другие момента L и М получаются таким же способом; все три момента могут быть получены один из другого при помощи круговой перестановки, букв х, у, г и X, Y, Z. Таким образом, будем иметь
