Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда непосредственно вытекают следующие свойства:
Любое число последовательных поступательных перемещений приводится к одному результирующему поступательному перемещению (п°52).
Если выполнить последовательно поступательное перемещение и вращение, то окончательное перемещение
88 Часть первая. Кинематика тонки и твердого тела
будет, одно и то же, каков бы ни был порядок обеих операций.
Однако последовательные конечные вращения складываются не так, как складываются мгновенные одновременные враления, правило в этом случае оказывается значительно более сложным. Отметим здесь следующее свойство* напоминающее аналогичное свойство пары мгновенных вращений ^п°58, 3°) и столь же простое:
Пара двух конечных последовательных вращений эквизалентна одному поступательному перемещению (вообще говоря, зависящему от порядка, в котором выполняются оба вращения).
В самом деле, рассмотрим плоскость, связанную с телом и пара лельную осям обоих вращений. Эга плоскость повертывается на определенный угол в первом вращении, потом она повертыяается в противопочожную сторону на такой же угол во втором вращении и в результате оказывается параллельной своему первоначальному положению: она получает, таким образом, только поступательное перемещение. Перемещение твердого тела определяется при этом перемещением оси первого вращения во время поворота вокруг другой оси; в самом деле, первая ось при первом вращении остается неподвижной.
77. Конечное перемещение плоской фигуры в своей плоскости. — Самое сбщее конечное перемещение плоской фигуры в своей плоскости есть поступательное перемещение или вращение.
Пусть А (фиг. 16) — одна из точек фигуры и АВ—перемещение этой точки. Пусть далее ВС есть перемещение той точки фигуры, которая первоначально била в В. Отрезок АВ фигуры nt-реходит поэтому в ВС и, следовательно, эти д' а отрезка равны. Если бы они были расположены на одной прямой, то они были бы или геометрически р вны, или ориентированы в противо оложные стороны. В первом случае перемещение отрезка (а следорательно, и вс й фигуры) было бы поступательным. Во втором случае отрезок сделал бы пол-ооорота, поэтому перемеще-
Глава II. Кинематика твердого тела
89
ние фигуры было бы вращением на 180° вокруг середины отрезка. В общем случае перемещения АВ и ВС обра-зуют между собой угол. Перпендикуляры, проведенные через середины этих двух
очевидно, приводится к перемещению плоской фигуры в ее плоскости. Оно представляет собой поэтому поступательное перемещение или вращение.
78. Конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку. — Сам е общее конечное перемещен ние тзердсго тела, имеющего неподвижную точку, есть вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через эту точ су.
Пусть О — неподвижная точка. Рассмотрим вторую точку А тела, и пусть АВ — ее перемещение. Пусть, как и в предшествующем случае (фиг. 16), ВС—перемещение точки В, так что отрезок ЛВ, связанный с телом, переходит в ВС. Проведем через середины двух отрезков АВ и ВС плоскости, перпендикулярные к этим отрезкам; обе плоскости пройдут через неподвижную точку О и перссекутся по пряной, проходящей через О. Отрезок АВ перемешается в положение ВС вращением вокруг найденной прямой, и это перемещение отрезка влечет за собой перемещение всего тела, что и доказывает предложение.
отрезков, пересекаются в точке О. Поэтому отрезок АВ можег быть перемещен в положение ВС вращением
вокруг точки О. Следова- А
тельно, перемещение фигу ры есть вр .щение.
Перемещение твердого тела, параллельное плоскости,
О
Фиг. 16.
79. Перемещение свободного твердого тела. — Самое общее конечное перемещение свободного твердого тела разлагается на поступательное перемещение, определяемое
90 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
перемещением произвольной точки тела, и на вращение вокруг оси, проходящей через эту точку.
В самом деле, пусть О — какая-нибудь точка тела и и — перемещение этой точки. Если сначала сообщим телу перемещение и, то после этого оно должно будет только повернуться вокруг точки О. Поэтому, в силу предшествующей теоремы, оно может быть переведено в свое новое положение вращением w вокруг оси, проходящей через точку О, что и доказывает предложение. Поступательное перемещение и зависит от выбора точки О, вращение же м остается одним и тем же при любом выборе этой точки. В самом деле, единственными прямыми, которые остаются параллельными самим себе при перемещении твердого тела, являются прямые, параллельные вектору углового перемещения w. С другой стороны, величина вектора w и его направление определяются углом, на который повертывается какая-нибудь плоскость, связанная с телом и параллельная ы.
Разложим поступательное перемещение и на два составляющие, одно параллельное вектору w, и другое и2, перпендикулярное к этому вектору. Если сначала сообщим телу поступательное перемещение uv то остальная часть перемещения тела совершается параллельно плоскости, нормальной к w. Поэтому это дополнительное перемещение приводится к вращению w вокруг неподвижной оси (п° 77). Таким образом, перемещение твердого тела складывается из вращения w вокруг неподвижной оси и из скольжения вдоль этой оси. Это свойство выражают в следующих словах: самое общее конечное перемещение свободного твердого тела есщь винтовое перемещение,
