Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
5 Зов. №8.
N2 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
деляет движение всего тела, так как мы покажем сейчас, что всякая точка М тела движется так же, как ее проекция Мх на плоскость (Р). Прямая, проектирующая М на плоскость сечения (S), связана с твердым телом и перпендикулярна к неподвижной плоскости (Р); следовательно, она движется параллельно самой себе, и все ег точки
описывают одинаковые траектории с равными скоростями. Значит, движение основания М1 этого, перпендикуляра в плоскости сечения (S) определяет движение всей прямой. Отсюда выводим следующие заключения:
1°. Если движение сечения (S) в своей плоскости есть мгновенное поступательное, то движение твердого тела будет также мгновенным поступательным.
Фиг. 13. 2°. Если движение сечения
(S) в своей плоскости есть мгновенное вращение вокруг центра С, то движение твердого тела будет мгновенным вращением вокруг перпендикуляра, Босставленного к плоскости сечения в точке С. Этот перпендикуляр представляет собой мгновенную ось вращения тела.
Рассмотрим теперь непрерывное движение твердого тела в течение некоторого промежутка времени. Оставим в стороне случай вращения вокруг неподвижной оси и предположим, что мгновенное движение ни в какой момент времени не вырождается в поступательное движение. В таком случае можно дать представление непрерывного движения твердого тела, аналогичное тому, которое мы только что рассмотрели для плоской фигуры. Движение сечения (5) можно осуществить, заставляя кривую Ст, неизменно связанную с сечением, катиться по неподвижной кривой Ср так что точка касания будет совпадать с мгно-
Глава II. Кинематика твердого тела
83
венным центром вращения С сечения. Мгновенная ось вращения твердого тела есть перпендикуляр к этому сечению, восставленный в точке С (фиг. 14). Она перемещается параллельно самой себе в пространстве и в теле и описывает два цилиндра, перпендикулярные к плоскости (Р): неподвижный цилиндр, имеющий основанием кривую Cf {,неподвижный, аксоид), и движущийся цилиндр, связанный с тв рдым телом и имеющий основанием кривую Ст (подвижный аксоид). Эти цилиндры касаются друг друга в каждый момент вдоль общей образующей, представляющей собой мгновенную ось, а нормальные сечения обоих цилиндров, касательные друг к другу, катятся без скольжения одно по другому. Отсюда следует, что движущийся цилиндр будет катиться без скольжения по неподвижному цилиндру. Таким образом, движение твердого тела, параллельное неподвижной плоскости, есть цилиндрическое качение.
73. Движение твердого тела около неподвижной
точки.—Если твердое тело закреплено в одной точке О, то скорость этой точки постоянно равна нулю, поэтому движение тела в каждый момент времени представляет собой мгновенное вращение вокруг оси OR, проходящей через точку О (п° 65). Если движение тела не есть непрерывное вращение вокруг неподвижной оси, мгновенная угловая скорость постоянно изменяется по направлению и по величине как в неподвижном пространстве, так и в движущемся теле. Геометрическое место мгновенных о;ей в пространстве есть коническая поверхность с Еершиной в точке О {неподвижный аксоид), геометрическое место этих осей в теле есть другая коническая поверхность с вершиной в той же точке {подвижный аксоид). В каждый момент времени
6*
84 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
мгновенная ось OR представляет собой обшую образующую этих двух конусом (фиг. 15). Если пересечь оба конуса одной сферой с центром в О, то сечения будут иметь в каждый момент обшую точку С. Как и в случае плоской фигуры, можно доказать, что подвижное сечение Ст постоянно касается неподвижного сечения Cf в точке С и катится без скольжения по этой последней кривой. Сдедовательно, оба конуса постоянно касаются друг друга, и один из них катится по другому. Поэтому самое общее непрерывное движение твердого тела с одной неподвижной точкой можно осуществить, заставляя катиться один по другому два конуса, имеющих общую вершину в неподвижной точке; один из конусов неподвижен в пространстве, другой движется и связан с телом, увлекая его с собой в своем движении. Таким образом, самое общее непрерывное движение твердого тела около неподвижной точки есть коническое качение.
Фиг. 15.
74. Самое общее непрерывное движение свободного твердого тела. — Мы установили уже выше (п° 66) теорему Моцци:
Во всякий момент времени скорости всех точек свободного твердого тела таковы, как если бы оно вращалось вокруг некоторой оси и в то же время скользило вдоль нее; эта ось называется мгновенной осью вращения и скольжения, или осью Моцци.
Если бы такое движение было непрерывным, то оно было бы подобно движению винта в своей гайке. Оно называется поэтому винтовым движением. В соответствии
Глава II. Кинематика твердого тела 85
с этим теорему Моцци можно сформулировать так: самое общее мгновенное движение свобсдного твердого тела есть винтовое движение (мгновенное).
