Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Глава //. Кинематика твердого тела
относительная и абсолютная скорости совпадают по величине и направлению. В самом деле, их разность представляет собой переносную скорость мгновенного центра, т. е. скорость, которую имела бы точка С, если бы она была связана с движущейся фигурой. Но эта скорость равна нулю, так как С есть мгновенный центр вращения фигуры. Отсюда получаем следующие два заключения:
1°. Две кривые Cf и Ст в каждый момент касаются друг друга в мгновенном центре, соответствующем этому моменту. В самом деле, касательные к двум кривым в мгновенном центре совпадают, так как они соответственно имеют направления абсолютной и относительной скоростей, геометрически равных друг другу.
2°. При движении фигуры в ее плоскости мгновенный центр описывает дуги одинаковой длины на обеих кривых С^ИщСт. В самом деле, обозначим через sf и дуги, пробегаемые точкой С на кривых и Ст и отсчитываемые от соответствующих начальных положений А к А' этой точки на каждой из двух кривых. Так как точка движется с одинаковой скоростью по обеим кривым, то каково бы ни было t,
-f = dt dt ‘
Поэтому обе дуги могут отличаться друг от друга лишь на постоянную величину. Так как в начальный момент обе дуги обращаются в нуль, то они равны между собой в каждый последующий момент.
Оба указанных свойства характеризуют качение без скольжения движущейся центроиды по неподвижной. Они дают очень наглядное представление самого общего непрерывного движения плоской фигуры в ее плоскости, которое не приводится к непрерывному вращению и ни в какой момент не вырождается в мгновенное поступательное движение. Таким образом, можно высказать следующую теорему:
Самое общее непрерывное движение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить, заставляя
SO Часть первая, кинематика точка и Твердого теЛй
катиться по неподвижной кривой другую кривую, которая неизменно связана с движущейся фигурой и увлекает ее в своем движении. Точка касания обеих кривых в каждый момент времени представляет собой мгновенный центр вращения. Неподвижная кривая есть геометрическое место мгновенных центров на неподвижной плоскости (неподвижная центроида), подвижная кривая есть геометрическое место мгновенных центров на движущейся фигуре (подвижная центроида).
71. Приложение к построению норягалей к кривым. — Если известно положение мгновенного центра при движении плоской фигуры в ее плоскости, то можно по* строить нормаль к траектории любой точки фигуры, так как эта нормаль проходит через мгновенный центр. Поэтому если данная кривая может быть описана точкой плоской фигуры в таком ее движении, для которого можно определить мгновенный центр вращения, то *мы получаем способ построения нормали к этой кривой.
Рассмотрим несколько примеров.
Самым простым является случай, когда кривая представляет собой рулетту, т. е. когда кривая может быть определена как траектория точки, связанной с движущейся линией, которая катится по неподвижной кривой. В этом случае положение мгновенного центра (точки касания двух последних кривых) известно заранее. Например, циклоида есть рулетта, описываемая точкой окружности, которая катится по прямой; нормаль к циклоиде получим, соединяя движущуюся точку с точкою касания движущейся окружности и неподвижной прямой.
Второй простой пример представляет тот случай, когда две точки А к В движущейся фигуры вынуждены описывать заданные траектории. Нормали к этим траекториям, проведенные для каждого момента через точки А к В, определяют своим пересечением мгновенный центр, соответствующий этому моменту. Например, эллипс описывается точкой М отрезка прямой АВ, концы которого скользят по двум осям Ох и О у (фиг. 12). Мгновенный центр
Глава П. Кинематика твердого тела
81
определяется пересечением нормалей АС и ВС к осям, а нормаль к эллипсу в точке М есть МС.
Для рассматриваемого движения прямой АВ легко получить подвижную и неподвижную центроиды. В самом леле, угол АСВ (равный углу АОВ или дополнительный для него) остается постоянным; построим на отрезке АВ сегмент, вмещающий угол АСВ\ окружность сегмента пройдет через точку О, а отрезок ОС будет диаметром окружности.
Эта окружность, связанная с отрезком АЗ, есть геометри-чесюе место мгновенных цент- О ров С на движущ й;я фигуре, или подвижная центроида.
С другой стороны, ОС есть отрезок постоянной длины, так как это — диаметр указан- Фиг. 12.
ной окр\ жности. Поэтому геометрическим местом точек С на плоскости, или неподвижной центроидой, будет служить окгуж ость радиуса ОС с центром О. Таким образом, движение огр.зка АВ по его направляющим м чжно осуществить, если заставить катшься внутренн im образом окружность по неподвижной окружности вдвое большего ради\са. Эллипс, описываемый при этом точкой движущегося круга, входит в класс так называемых гипоциклоид.
§ 5. НЕПРЕРЫВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЗЕРДОГО ТЕЛА
72. Непрерывное движениэ тела параллельно неподвижной плос ости. — Если все точки твер шго пела перемещаются параллельно неподвижной плоскости (Р), ю говорят, что дзижен^е твердого тела параллель’о этой плоскости. В эточ случае сучение (:>) тела плоскостью (Р) есть плоская фигура (связанная с телом), движущаюя в своей плоскости (фиг. 13). Движение сечения (S) опре-
