Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
68. Предварительные соображения.—Движение плоской фигуры неизменяемой формы в ее плоскости есть частный случай движения твердого тела в пространстве. Поэтому в непосредственном изучении такого движения нет необходимости, однако сделать это все же весьма полезно. Для этого нужно применить общие соображения предшествующего параграфа к этому частному случаю.
Положение плоской фигуры в ее плоскости определяется положением двух ее точек, и состояние скоростей всех ее точек в определенный момент (т. е. мгновенное движение
76 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
фигуры) определяется скоростями только двух точек А и В. Если известны эти последние, то можно построить скорости всех прочих точек фигуры. В самом деле, скорость
точки С фигуры определяется ее проекциями, в данном случае известными, на две прямые АС и ВС.
Если а какой-нибудь момент t скорость точки С движущейся фигуры равна нулю, то мгновенное движение фигуры есть вращение еп вокруг этой точки. В самом деле, скорость какой-нибудь второй точки А фигуры перпендикулярна к СА. Эту скорость можно получить
вращением фигуры вокруг точки С. Так как при
помощи этого вращения мы получаем скорости двух точек фигуры, то оно же даст и скорости всех других ее точек.
69. Мгновенное движение плоской фигуры в ее плоскости. — Плоская фигура, движущаяся, в своей плоскости, совершает в каждый момент или мгновенное
поступательное движение, или мгновенное вращение.
Пусть А есть точка движущейся фигуры. Если скорость ее равна нулю, то, как мы только что видели, фигура совершает мгновенное вращение вокруг точки А. В проти-'• Фиг. 10. воположном случае пусть v
есть скорость точки А и пусть В—вторая точка движущейся фигуры, лежащая на векторе v (фиг. 10). Если скорость v' точки В параллельна V, то эти две скорости должны быть геометрически равны, так как каждая из них представляет скорость скольжения прямой АВ. Две точки фигуры имеют такие же скорости, как в поступательном движении со скоростью v, а потому мгновенное движение фигуры совпадает о рассматриваемый момент с этим поступательным движением. Если же скорость v' не параллельна скорости v, то прямые АС и ВС, соответственно перпендикулярные к v
J'Aaaa П. Кинематика твердого teAa
Г/
и v', будут иметь скольжения, равные нулю; они пересекаются в точке С, скорость которой, следовательно, должна быть равна нулю. В этом случае движение фигуры есть мгновенное вращение вокруг точки С и сама точка С есть мгновенный центр вращения. Мгновенный центр находится поэтому в точке пересечения прямых, проведенных из каждой точ ен движущейся фигуры перпендикулярно к скорости этой точки.
Проекции на две прямоугольные оси скорости точки М с координатами х,у во вращательном движении w (положительном или отрицательном) вокруг начала получим непосредственно, дифференцируя по t формулы, выражающие х и у в полярных координатах, и замечая, что ©' = <о (положительное вращение происходит в направлении от Ох к Оу). Имеем х — г cos <р, у = г sin rs и, дифференцируя при постоянном г, найдем;
Если мгновенный центр находится в точке с координатами х0,у0, то, перенося начало координат в эту точку, получим:
Эти формулы представляют собой частный случай формул п° 55, из которых они могут быть выведены, если положить p = q = о и г = ш. При этом выводе предполагается, конечно, что направления положительного вращения на плоскости и в пространстве согласуются между со ;ОЙ.
70. Непрерывное движение плоской фигуры в ее плоскости. — Рассмотрим движение плоской фигура в течение промежутка времени Д/. Мы будем предполагать, что в течение этого промежутка геометрические скорости в:ех точек фигуры изменяются непрерывно, и движение ни в какой момент времени не является мгновенным
v,x = — по sin а
шу,
Vy = ПО COS <Р= (ОХ
78 Часть первая. Кинематика точки и твердого ТеЛа
поступательным движением. В таком случае в каждый момент существует мгновенный центр вращения С.
Если точка С неподвижна на плоскости, движение фигуры есть непрерывное вращение вокруг этой точки. В самом деле, каждая точка М движущейся фигуры описывает окружность вокруг точки С, так. как траектория точки во все время движения остается нормальной к радиусу МС. В этом случае точка С занимает также неизменное положение в движущейся фигуре.
Обратно, если мгновенный центр занимает неизменное положение в движущейся фигуре, то эта точка фигуры
имеет скорость, постоянно рав-Ст ную нулю, и, следовательно, она неизменно связана также с неподвижной плоскостью; движение фигуры представляет собой, таким образом, непрерывное вращение вокруг не-^ подвижной точки.
Предположим теперь, что Фиг. 11. мгновенный центр С непре-
рывно перемещается в плоскости и в движущейся фигуре. Рассмотрим его абсолютное движение на неподвижней плоскости и его относительное движение на движущейся фигуре, принимаемой в качестве подвижной системы отсчета. Мгновенный центр, перемещаясь, описывает кривую в неподвижной плоскости, представляющую его абсолютную траекторию, и некоторую другую кривую на движущейся фигуре, представляющую его относительную траекторию. Абсолютная траектория есть кривая Су, которую мы будем называть неподвижной центропдой, а относительная траектория есть кривая Ст, которая перемещается вместе с движущейся фигурой и называется подвижной центроидой (фиг. 11). Мгновенный центр движется по каждой из этих двух кривых с соответствующей скоростью: с аЗсолютной скоростью но неподвижной кривой и с относительной скоростью по подвижной кривой. Легко видеть, что в каждый момент
